Noyau de Fejér

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Définition

Le noyau de Fejér est la suite $(F n) n \inℕ*$ de fonctions analytiques dont le terme de rang n, appelé noyau de Fejér d'ordre n, est la moyenne arithmétique des n premiers noyaux de Dirichlet :

\forall x \in ℝ F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} D_{k} (x)

.

En développant la définition ci-dessus, les deux expressions classiques du noyau de Dirichlet donnent respectivement :

$F_{n} (x) = \frac{1}{n} {(\frac{\sin \frac{n x}{2}}{\sin \frac{x}{2}})}^{2}$ si $x \notin 2 π ℤ$ (donc, par continuité, $F n (x) = n$ si $x$ est un multiple entier de $2π$ ) ;
$F_{n} (x) = \sum_{k = - n}^{n} (1 - \frac{| k |}{n}) e^{i k x}$ .

Démonstration

Si $x \notin 2 π ℤ$ alors $D_{k} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2} + k x)}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\cos k x - \cos (k + 1) x}{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}$ donc
$F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{\cos k x - \cos (k + 1) x}{2 \sin^{2} \frac{x}{2}} = \frac{1 - \cos n x}{2 n \sin^{2} \frac{x}{2}} = \frac{\sin^{2} \frac{n x}{2}}{n \sin^{2} \frac{x}{2}}$ .
$D_{k} (x) = \sum_{p = - k}^{k} e^{i p x}$ donc
$F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{p = - k}^{k} e^{i p x} = \frac{1}{n} \sum_{p = - n}^{n} \sum_{k = | p |}^{n - 1} e^{i p x} = \frac{1}{n} \sum_{p = - n}^{n} (n - | p |) e^{i p x} = \sum_{p = - n}^{n} (1 - \frac{| p |}{n}) e^{i p x}$ .

On obtient la somme de Fejér d'ordre n d'une fonction f (intégrable sur $[-π, π]$ et $2π$ -périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Dirichlet.

Le noyau de Fejér est un noyau de sommabilité positif sur $ℝ / 2 π ℤ$ , c'est-à-dire que :

$\forall n \in ℕ^{*} F_{n} \geq 0$ ;
$\forall n \in ℕ^{*} \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} F_{n} (x) d x = 1$ ;
$\forall ε > 0 lim_{n \to \infty} \int_{π \geq | x | > ε} | F_{n} (x) | d x = 0$ .

La suite $(F n)$ est donc une approximation de l'unité de l'algèbre de Banach $L^{1} (ℝ / 2 π ℤ)$ (munie de produit de convolution).

Le noyau de Fejér est lié au noyau de Dirichlet par les relations suivantes^[2] :
- $\forall n \in ℕ^{*}, D_{n} (x) = (n + 1) F_{n + 1} (x) - n F_{n} (x)$
- $\forall n \in ℕ, F_{n + 1} (x) = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} D_{k} (x)$

↑ (de) Leopold Fejér, « Untersuchungen über Fouriersche Reihen », Mathematische Annalen,‎ 1904 (lire en ligne)
↑ (en) Josée Lopez-Bonilla, Sergio Vidal Beltran et Jesus Yalja Montiel, « A Note on Dirichlet and Fejér kernels », Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, vol. 14, n^o 1,‎ 26 mars 2007, p. 101–104 (ISSN 1409-2433, lire en ligne)