Opérateur (mathématiques)
application entre deux espaces vectoriels topologiques
En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.
Définition d'un opérateur modifier
Définition modifier
Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :
Opérateur linéaire modifier
Un opérateur est linéaire si et seulement si :
où K est le corps des scalaires de E et F.
Remarque modifier
Lorsque E est un -espace vectoriel, et que (c'est un corps), un opérateur est une forme linéaire sur E.
Domaine (de définition) modifier
On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.
Continuité modifier
Par définition de la continuité :
- Soient O un opérateur de domaine et à valeurs dans F, et . L'opérateur O est dit continu en si et seulement si pour tout voisinage V de , il existe un voisinage de tel que :
- L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points de son domaine.
Articles connexes modifier
Bibliographie modifier
- A. N. Kolmogorov et S. V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover Publications, Inc. (1975), (ISBN 0-486-61226-0).
- T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (2e édition-1995), (ISBN 3-540-58661-X).
- B. Yosida, Functional Analysis, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (6e édition-1995), (ISBN 3-540-58654-7).