- Si
et
alors
.
On en déduit, si
:
- pour tout
,
;
- pour tout
,
.
En supposant, pour que les quotients soient définis, que
et
ne s'annulent pas au voisinage de a, sauf peut-être en a :
- si
et
alors
.
En particulier :
- si
alors
.
En supposant, pour que leurs puissances d'exposant quelconque soient définies, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :
- si
alors, pour tout
,
.
Composition à droite par une même fonction
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Si
et si
alors
.
Quelques cas de composition à gauche
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Pour la composition à gauche, il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.
Si
et si (au voisinage de a)
et
sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors
.
En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :
- si
et si
ou
(ou plus généralement : si
« ne s'approche pas » de 1), alors
.
.
Si deux fonctions de signe constant sont équivalentes au point a, alors leurs primitives qui s'annulent en a sont équivalentes au point a.
Démonstration
Supposons
avec (par exemple) f et g positives, et soit
. Il existe un intervalle voisinage de a sur lequel on a
. Alors, pour
dans cet intervalle, on a
ce qui prouve que
Sans hypothèses supplémentaires (voir supra), on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes.
Par exemple,
mais
.
De
, on ne peut pas déduire
.
En effet,
(voir supra).
Par exemple,
mais
.
De
, on ne peut pas déduire
.
En effet, si
alors (voir supra)
, or en général
.
Par exemple
mais
.
L'hypothèse que
« ne s'approche pas » de 1 (voir supra) est indispensable.
Si
et si f et g sont dérivables, on ne peut pas conclure que
.
Par exemple quand x tend vers 0,
et
sont équivalentes, mais
et
, donc
.
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