Opérateur bilaplacien

Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

L'opérateur bilaplacien, ou opérateur biharmonique est, comme son nom le suggère, le nom donné à l'opérateur laplacien appliqué deux fois.

Expression

Dans un système de coordonnées cartésiennes $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ , le bilaplacien s'écrit

Δ^{2} = \nabla^{4} = \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial^{4}}{\partial x_{i}^{2} \partial x_{j}^{2}}

.

D'autre part, dans un espace euclidien de dimension $n$ , la relation suivante est toujours vérifiée :

Δ^{2} (\frac{1}{r}) = \frac{3 (15 - 8 n + n^{2})}{r^{5}} = \frac{3 (n - 3) (n - 5)}{r^{5}}

avec $r$ la distance euclidienne :

r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}} = {(\sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}}

.

Ainsi, la fonction $r \mapsto \frac{1}{r}$ est biharmonique si et seulement si $n = 3$ ou $n = 5$ .

En coordonnées cartésiennes

L'opérateur bilaplacien en trois dimensions $(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x, y, z)$ s'exprime sous la forme $Δ^{2} f = \frac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} f}{\partial y^{4}} + \frac{\partial^{4} f}{\partial z^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} f}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + 2 \frac{\partial^{4} f}{\partial y^{2} \partial z^{2}} + 2 \frac{\partial^{4} f}{\partial x^{2} \partial z^{2}} .$

En coordonnées polaires

L'opérateur bilaplacien en polaire en deux dimensions $(x_{1}, x_{2}) = (r, θ)$ s'exprime sous la forme $Δ^{2} f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial}{\partial r} (\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}))) + \frac{2}{r^{2}} \frac{\partial^{4} f}{\partial θ^{2} \partial r^{2}} + \frac{1}{r^{4}} \frac{\partial^{4} f}{\partial θ^{4}} - \frac{2}{r^{3}} \frac{\partial^{3} f}{\partial θ^{2} \partial r} + \frac{4}{r^{4}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}}$

Voir aussi

Référence

(en) Eric W. Weisstein, « Biharmonic Operator », sur MathWorld

Portail de l'analyse