Il peut aujourd'hui être traité avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890.
En désignant par
le point d'où sont faites les observations, les 3 vecteurs
,
et
définissent le plan de la trajectoire. Leur surabondance permet d'affiner cette définition par la méthode des moindres carrés. On peut alors définir le vecteur unitaire perpendiculaire à ce plan,
.
Soit à trouver la direction du périgée, vecteur unitaire
; la direction orthogonale
=
complète le trièdre.
Le vecteur de Gauss-Gibbs,
, défini par trois vecteurs de position,
, pointe vers la direction
(semi-petit axe) et peut donc s'écrire
.
.
Soient la demi-ellipse et sur elle,
le périgée,
le point de l'ellipse tel que
,
le point du petit axe, et
l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondant à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".
Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle
=(
,
), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type
, qui permettent, par moindres carrés de trouver
et
; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.
Remarque : l'intuition de Gauss était que:
.
Le théorème 2 de Gibbs permet de confirmer cette solution.
Seul le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse est traité ; si le décalage temporel dépasse la demi-période, il convient de prendre en compte la disposition des points.
On appelle vecteur excentricité le vecteur
,
étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc
.
On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :
,
- (
étant le moment cinétique.
.)
et en particulier, comme vu plus haut :
.
Calculer
: il vient
. Donc,
et
sont dans la même direction (demi-petit axe), an peut donc s'écrire :
.
Soit le vecteur d'aire défini par les trois vecteurs de position :
=
;
alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}\times {\vec {e}}={\vec {G}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e34bc9fea376196ef81d48cb53ac1f3a891a272)
- e =
.
Puisque les produits croisés avec
, en considérant que
, nous avons:
.
Par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}\times {\vec {e}}&=(r_{2}-r_{3}){\vec {r_{1}}}+(r_{3}-r_{1}){\vec {r_{2}}}+(r_{1}-r_{2}){\vec {r_{3}}}\\&={\vec {G}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57557a9c754ddc1475f50ced2c1964201d174cb9)
Les vecteurs
et leur somme
sont perpendiculaires au plan orbital.
Donc
![{\displaystyle {\vec {A}}\times {\vec {e}}=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {e}}\|\sin(90^{\circ })\,{\vec {j}}=\|{\vec {A}}\|\,\,e\,{\vec {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b17a9a897eb8075532c932ceae71b0e79a5f8d)
![{\displaystyle e={\frac {\|{\vec {A}}\times {\vec {e}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}={\frac {\|G\|}{\|{\vec {A}}\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a942582af3ae3f7b85ce918cf8435611729089)
Soit enfin le vecteur-volume des aires pondérées :
.
Ensuite, le semi-latus rectum,
, de l'orbite peut être dérivé des vecteurs
et
définis précédemment,
.
De plus, le moment cinétique spécifique,
, du corps en orbite sera lié aux deux vecteurs par :
.
Les 3 vecteurs de position sont coplanaires. Ils peuvent donc s'écrire :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}&=a_{12}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{12}={\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\cdot {\vec {k}}\\{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}&=a_{23}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{23}={\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\cdot {\vec {k}}\\{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}&=a_{31}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{31}={\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\cdot {\vec {k}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42375bc0af320dd471a8c36e0abb6d73cce3d489)
où
est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan orbital
.
On suppose en outre qu'il a la même direction que le vecteur moment cinétique.
Les trois vecteurs étant indépendants, il existe des coefficients
tels que leur combinaison linéaire soit un vecteur nul.
.
En prenant le produit scalaire de cette équation avec
, et en considérant
, nous avons:
, et
.
Si les produits croisés de l'équation ci-dessus avec
sont pris, respectivement. Nous avons:
![{\displaystyle \lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{1}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{1}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ff1b0e3c814b0685e0a6651b142dd0afbeb34b)
![{\displaystyle \lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{2}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{2}}}={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96da26053d9c3ec70ae85d86b6b3101ee8e8835)
,
et
.
Ainsi, (avec une constante arbitraire k)
.
Par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}\\&={\frac {({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\,r_{1}+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\,r_{2}+({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\,r_{3}}{({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})+({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})}}\\&={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\vec {\|V\|}}{\vec {\|A\|}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d7557118a073a6371a9b8623d74a750a902a54)
De plus, à partir des lois du mouvement de Newton et de l'équation de la trajectoire orbitale, on sait que :
![{\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8cbd30ddc42a6ea05d6b29b9f6306611b93bf5)
Par conséquent, grâce au pontage de
, la relation entre
et [
] peut être facilement dérivée:
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}={\frac {h^{2}}{\mu }}\\\Rightarrow h&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49a1acebbd820ca8f5b6d09936dd62d3549558a)
Et on voit que les vecteurs auxiliaires, [
], définis par les trois vecteurs de position observés, relient magiquement la propriété géométrique de l'orbite,
, au paramètre dynamique du mouvement,
.
Détermination du Vecteur Vitesse
modifier
On peut ensuite calculer le vecteur vitesse en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité.
L'astuce consiste à prendre le produit croisé de
et
, de sorte que l'expression du vecteur vitesse
puisse être révélée.
Les étapes pour calculer le vecteur vitesse sont listées comme suit:
.
En conséquence, nous avons l'équation suivante pour le vecteur de vitesse, en termes de paramètre gravitationnel et de vecteur de position:
![{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mu }{h}}(e{\vec {j}}+{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c479e0dcb4ea122c6666f08fddafa83650d11a)
(
est le paramètre gravitationnel standard).
Selon les théorèmes précédents, nous avons,
,
et
![{\displaystyle h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522531c16b78a1a89b9a020d80d0a91b3af6c387)
Par conséquent,
.
Vecteur Vitesse à partir de Trois Vecteurs Position
modifier
En résumé, le vecteur vitesse
peut être exprimé en fonction des vecteurs
, définis par les trois vecteurs position observés, comme suit:
.
Une preuve alternative pour ce formulaire est décrite ici.
L'astuce consiste à utiliser la relation
et la relation entre
et
pour trouver la relation fonctionnelle entre
et
.
.
Par conséquent, le vecteur vitesse peut également être exprimé par:
.
Le théorème précédent montre que
et
sont liés par:
![{\displaystyle h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522531c16b78a1a89b9a020d80d0a91b3af6c387)
Enfin, à travers les trois vecteurs auxiliaires
, définis par les trois vecteurs position, le vecteur vitesse peut s'exprimer en fonction des vecteurs position:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\cdot h}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|}}{\sqrt {\frac {\|{\vec {A}}\|}{\mu \|{\vec {V}}\|}}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\{\vec {v}}&={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\|V\|}}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3269ea5399851b8b838035d1a4b92cb93f53b05)