p-Laplacien
En mathématiques, le p-Laplacien, ou l'opérateur de p-Laplace, est un opérateur différentiel partiel elliptique quasi-linéaire du second ordre. C'est une généralisation non linéaire de l'opérateur laplacien, où p, usuellement fixé à 2, est autorisé à s'étendre sur . Il s'écrit comme
où le est défini par :
Dans le cas particulier où , cet opérateur se réduit au laplacien classique[1]. En général, les solutions d'équations impliquant le p-Laplacien n'ont pas de dérivées du second ordre au sens classique, donc les solutions à ces équations doivent être comprises comme des solutions faibles. Par exemple, on dit qu'une fonction u appartenant à l'espace de Sobolev est une solution faible de
si pour chaque fonction test on a
où désigne le produit scalaire standard.
Opérateur
modifierL'opérateur p-laplacien pour une fonction u définie sur un espace de dimension n s'écrit :
Les solutions sont appelées fonctions p-harmoniques.
Cas particuliers
modifier- p = 1
L'opérateur 1-laplacien est l'opposé de l'opérateur de courbure moyenne :
- p = 2
L'opérateur 2-laplacien est le laplacien classique :
- p = n
L'opérateur n-laplacien est un cas particulier, car il est invariant par toute transformation de Möbius. En effet, la norme est invariant par toute transformation conforme.
Ce cas est important dans l'étude des transformations quasi conformes.
- p infini
L'équation de ∞-Laplace se réduit à[2]:
ou Hu désigne la matrice hessienne de u. Cette équation a des applications en traitement d'images.
Formulation variationnelle
modifierLa solution faible de l'équation de p-Laplace avec une condition aux limites de Dirichlet
dans un domaine est celle qui minimise la fonctionnelle énergie
parmi toutes les fonctions de l'espace de Sobolev satisfaisant les conditions aux limites au sens de la trace[1]. Dans le cas particulier et est une boule de rayon 1, la solution faible du problème ci-dessus peut être explicitement calculée et est donnée par
où est une constante appropriée dépendant uniquement de la dimension et de . On remarque que pour la solution n'est pas deux fois dérivable au sens classique.
Voir aussi
modifierNotes
modifier- Evans, pp 356.
- Lindqvist 2017
Sources
modifier- Lawrence C. Evans, « A New Proof of Local Regularity for Solutions of Certain Degenerate Elliptic P.D.E. », Journal of Differential Equations, vol. 45, , p. 356–373 (DOI 10.1016/0022-0396(82)90033-x
, MR 672713)
- John L. Lewis, « Capacitary functions in convex rings », Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 66, no 3, , p. 201–224 (DOI 10.1007/bf00250671, Bibcode 1977ArRMA..66..201L, MR 0477094, S2CID 120469946)
Références
modifier- (en) Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya, Vsevold Solonnikov et Nina Uralt'seva, Linear and quasi-linear equations of parabolic type, vol. 23, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Translations of Mathematical Monographs », , XI+648 (ISBN 9780821886533, MR 0241821, zbMATH 0174.15403, lire en ligne).
- (en) K. Uhlenbeck, « Regularity for a class of non-linear elliptic systems », Acta Mathematica, vol. 138, , p. 219–240 (DOI 10.1007/bf02392316
, MR 0474389)
- (en) Peter Lindqvist, Notes on the p-Laplace equation (second edition) (lire en ligne)
- Juan Manfredi, Strong comparison Principle for p-harmonic functions