Plus grand petit polygone

En géométrie, un plus grand petit polygone, pour un nombre $n ⩾ 3$ de côtés, est un polygone convexe, de diamètre unité (dont la distance entre deux de ses points est au maximum égale à 1), qui a une aire maximale parmi tous les $n$ -gones de diamètre unité.

Pour $n$ = 4 une solution est le carré mais il y en a d'autres ; pour $n$ impair, la solution unique est le polygone régulier mais ceci est faux pour $n$ pair.

Cas des quadrilatères

Pour $n$ = 4, l'aire d'un quadrilatère arbitraire est donnée par la formule $S = 1 / 2 p q \sin θ$ où $p$ et $q$ sont les longueurs des diagonales du quadrilatère et $θ$ est l'un des angles qu'elles forment l'une avec l'autre. Pour que le diamètre soit au plus égal à 1, $p$ et $q$ doivent eux-mêmes être au plus égaux à 1. Par conséquent, le quadrilatère a la plus grande aire lorsque les trois facteurs de la formule d'aire sont maximisés individuellement, soit lorsque $p = q = 1$ et $\sin θ = 1$ . La condition $p = q$ signifie que le quadrilatère est équidiagonal (diagonales de même longueur), et la condition $\sin θ = 1$ signifie qu'il s'agit d'un quadrilatère orthodiagonal (ses diagonales se croisent à angle droit)^[1]. Les quadrilatères de ce type comprennent le carré à diagonales unitaires, dont l'aire est égale à 1/2. Cependant, une infinité d'autres quadrilatères orthodiagonaux et équidiagonaux ont également un diamètre unité et ont la même aire que le carré (les pseudo-carrés) donc dans ce cas la solution n'est pas unique^[2].

Cas d'un nombre impair de côtés

Pour les valeurs impaires de $n$ , Karl Reinhardt a montré en 1922 que c'est le polygone régulier qui a la plus grande aire parmi tous les polygones de diamètre donné^[3]^,^[1].

Cas d'un nombre pair de côtés

Dans le cas $n$ = 6, le polygone optimal unique n'est pas régulier. La solution dans ce cas a été publiée en 1975 par Ronald Graham, en réponse à une question posée en 1956 par Hanfried Lenz^[4]. Elle prend la forme d'un pentagone équidiagonal irrégulier avec un triangle isocèle obtus fixé à l'un de ses côtés, avec la distance du sommet du triangle au sommet opposé du pentagone égale aux longueurs des diagonales du pentagone. Son aire est égale à 0,674981.... (suite A111969 de l'OEIS), nombre non exprimable par radicaux car il a pour groupe de Galois S₁₀, solution de l'équation :

4096 x¹⁰ +8192x ⁹ − 3008 x⁸ − 30848 x⁷ + 21056 x⁶ + 146496 x⁵ − 221360 x⁴ + 1232 x³ + 144464 x² − 78488 x + 11993 = 0.

Graham a émis l'hypothèse que la solution optimale pour le cas général des valeurs paires de $n$ consiste de la même manière en un ( $n$ −1)-gone équidiagonal avec un triangle isocèle fixé à l'un de ses côtés, son sommet à une distance égale à 1 du sommet opposé du (n−1)-gone. Dans le cas $n$ = 8 ceci a été vérifié par un calcul informatique par Audet et al ^[5]^,^[2]. La preuve de Graham que son hexagone est optimal, et la preuve informatique du cas $n$ = 8, impliquaient toutes deux une analyse de cas de tous les "thrackles" à $n$ sommets possibles et arêtes rectilignes.

La conjecture de Graham, concernant le problème du plus grand petit polygone pour les valeurs paires de $n$ , a été prouvée en 2007 par Foster et Szabo^[6]. Leur démonstration construit un polygone — formé d'un polygone à $n - 1$ côtés et à diagonales égales auquel on a ajouté un sommet — dont l'aire est supérieure à celle de tout polygone à $n$ côtés ne présentant pas cette forme. Toutefois, ils ne démontrent pas que leur construction produit des polygones optimaux. Ils laissent en suspens la question de savoir si la solution optimale est toujours unique et si elle possède un axe de symétrie^[1].

Voir aussi

Petit octogone de Hansen
Polygone de Reinhardt, polygone maximisant le périmètre, et la largeur pour un diamètre donné, et maximisant la largeur pour un périmètre donné.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Biggest little polygon » (voir la liste des auteurs).

1 2 3 Jean-Paul Delahaye, « Géométrie : en matière d’aire, les polygones réguliers ne sont pas toujours optimaux », Pour la Science, n^o 588,‎ octobre 2026 (lire en ligne )
1 2 Charles AUDET, Pierre HANSEN, Frédéric MESSINE, « La saga des trois octogones », DOSSIER POUR LA SCIENCE N° 91,‎ 6 avril 2016, p. 23 (lire en ligne)
↑ (de) K. Reinhardt, « Extremale Polygone gegebenen Durchmessers », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 31,‎ 1922, p. 251–270. (lire en ligne)
↑ (en) R. L. Graham,, « The largest small hexagon », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 18, n^o 2,‎ 1975, p. 165-170 (lire en ligne)
↑ (en) Charles Audet, Pierre Hansen, Frédéric Messine, Junjie Xiong, « The largest small octagon », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 98, n^o 1,‎ 2002, p. 46-59 (DOI 10.1006/jcta.2001.3225)
↑ (en) Jim Foster, Tamas Szabo, « Diameter graphs of polygons and the proof of a conjecture of Graham », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 114, n^o 8,‎ 2007, p. 1515–1525 (DOI 10.1016/j.jcta.2007.02.006)

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Biggest little polygon », sur MathWorld
Graham's Largest Small Hexagon, sur Hall of Hexagons

Portail des mathématiques

[:1-1] 1 2 3 Jean-Paul Delahaye, « Géométrie : en matière d’aire, les polygones réguliers ne sont pas toujours optimaux », Pour la Science, n^o 588,‎ octobre 2026 (lire en ligne )

[:12-2] 1 2 Charles AUDET, Pierre HANSEN, Frédéric MESSINE, « La saga des trois octogones », DOSSIER POUR LA SCIENCE N° 91,‎ 6 avril 2016, p. 23 (lire en ligne)

[3] (de) K. Reinhardt, « Extremale Polygone gegebenen Durchmessers », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 31,‎ 1922, p. 251–270. (lire en ligne)

[4] (en) R. L. Graham,, « The largest small hexagon », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 18, n^o 2,‎ 1975, p. 165-170 (lire en ligne)

[5] (en) Charles Audet, Pierre Hansen, Frédéric Messine, Junjie Xiong, « The largest small octagon », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 98, n^o 1,‎ 2002, p. 46-59 (DOI 10.1006/jcta.2001.3225)

[6] (en) Jim Foster, Tamas Szabo, « Diameter graphs of polygons and the proof of a conjecture of Graham », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 114, n^o 8,‎ 2007, p. 1515–1525 (DOI 10.1016/j.jcta.2007.02.006)

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