Point régulier

En géométrie différentielle, lorsqu'on étudie une courbe (resp. une surface), il existe une condition suffisante simple portant sur des dérivées d'ordre 1 pour que la courbe admette une tangente (resp. un plan tangent) en un point. Si cette condition est réalisée, le point en question est dit régulier.

La condition de régularité prend diverses formes suivant le type de définition choisi pour l'objet géométrique.

Courbes

Arcs paramétrés

Si f est une fonction de l'intervalle I dans l'espace E, de classe ${\mathcal {C}}^{1}$, on dit que le point de paramètre t est régulier quand le vecteur dérivé f'(t) est non nul. Il dirige alors la tangente en ce point.

Dans le cas particulier d'un graphe de fonction numérique de classe ${\mathcal {C}}^{1}$, la condition de régularité est toujours vérifiée.

Dans le cas particulier d'une courbe paramétrée par l'angle polaire $\rho =f(\theta )$, le vecteur dérivé est donné par $\rho 'u+\rho v$ dans le repère mobile. Tous les points autres que l'origine sont donc réguliers.

Courbes implicites

Soit la courbe du plan d'équation cartésienne f(x,y)=C et un point M(x,y) appartenant à la courbe. Il est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, la tangente est orthogonale au vecteur gradient.

Surfaces

Nappes paramétrées

Si f est une fonction de U dans l'espace E, de classe ${\mathcal {C}}^{1}$, on dit que le point de paramètre (t,u) est régulier quand les vecteurs dérivés ${\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial u}}$ sont indépendants. Ils engendrent alors le plan tangent en ce point.

Surfaces implicites

Soit la surface d'équation cartésienne f(x,y,z)=C et un point M(x,y,z) appartenant à la courbe. Il est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, le plan tangent est orthogonal au vecteur gradient.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Regular point », sur MathWorld