Dans l'interpolation polynomiale de deux variables, les points de Padua sont le premier exemple connu (et jusqu'à présent le seul) d'un ensemble de points unisolvant (c'est-à-dire que le polynôme d'interpolation est unique) avec une croissance minimale de leur constante de Lebesgue, avéré être de l'ordre [1]. Leur nom vient de l'Université de Padoue, où ils ont été découverts à l'origine[2].
Les points sont définis dans le domaine . Il est possible d'utiliser les points avec quatre orientations, obtenus avec des rotations successives de 90 degrés : on obtient ainsi quatre familles différentes de points de Padua.
On peut voir les points de Padua comme un « échantillonnage » d'une courbe paramétrique, dite courbe génératrice, qui est légèrement différente pour chacune des quatre familles, de sorte que les points d'interpolation de degré et la famille peut être défini comme
En fait, les points de Padua se situent exactement sur les auto-intersections de la courbe, et sur les intersections de la courbe avec les limites du carré . La cardinalité de l'ensemble est . De plus, pour chaque famille de points de Padoue, deux points se trouvent sur des sommets consécutifs du carré , il y a 2n-1 points se trouvent sur les bords du carré, et les points restants se trouvent sur les auto-intersections de la courbe génératrice à l'intérieur du carré[3],[4].
Les quatre courbes génératrices sont des courbes paramétriques fermées dans l'intervalle , et sont un cas particulier des courbes de Lissajous.
avec représentant le polynôme de Chebyshev normalisé de degré (soit, , où est le polynôme classique de Chebyshev de première espèce de degré ). Pour les quatre familles de pointes de Padoue, que l'on peut désigner par , , la formule d'interpolation d'ordre de la fonction sur le point cible générique est alors
↑(en) Marco Caliari, Len Bos, Stefano de Marchi, Marco Vianello et Yuan Xu, « Bivariate Lagrange interpolation at the Padua points: the generating curve approach », J. Approx. Theory, vol. 143, no 1, , p. 15–25 (DOI10.1016/j.jat.2006.03.008, arXivmath/0604604)
↑(en) Stefano de Marchi, Marco Caliari et Marco Vianello, « Bivariate polynomial interpolation at new nodal sets », Appl. Math. Comput., vol. 165, no 2, , p. 261–274 (DOI10.1016/j.amc.2004.07.001)
↑(en) Marco Caliari, Stefano de Marchi et Marco Vianello, « Algorithm 886: Padua2D—Lagrange Interpolation at Padua Points on Bivariate Domains », ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 35, no 3, , p. 1–11 (DOI10.1145/1391989.1391994)