Relation avec les fractions continues
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Soit
un nombre irrationnel. Dans
, les cônes générés par
et par
permettent de créer deux polyèdres de Klein, dont chacun est délimité par une suite de segments adjacents. On définit la longueur entière d'un segment comme la taille de son intersection avec
moins 1 . Grâce à cela, on peut faire correspondre les longueurs entières des arêtes de ces deux polyèdres de Klein avec pour l'expansion en fraction continue de
, l'un des polyèdres correspondant aux termes pairs et l'autre correspondant aux termes impairs.
Graphes associés au polyèdre de Klein
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Supposons que
est généré par une base
de
(de sorte que
), et soit
la base dual (c'est-à-dire
). X étant un vecteur , on note
la droite générée par le vecteur
, et
l'hyperplan orthogonal à
.
On dit que le vecteur
est irrationnel si
; et on dit que le cône
est irrationnel si tous les vecteurs
et
sont irrationnels.
Le bord
d'un polyèdre de Klein s'appelle une voile . On peut associer à la voile
d'un cône irrationnel deux graphes :
- le graphe
dont les sommets sont des sommets de
, deux sommets étant reliés s'ils sont les extrémités d'une arête (unidimensionnelle) de
;
- le graphique
dont les sommets sont les faces
-dimensionnelles (appelées chambres) de
, deux chambres étant reliées si elles partagent une face de dimension
.
Ces deux graphes sont structurellement liés au graphe orienté
dont l'ensemble de sommets est
, où un sommet
est relié au sommet
si et seulement si
est de la forme
où
![{\displaystyle U=\left({\begin{array}{cccc}1&\cdots &0&c_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &1&c_{n-1}\\0&\cdots &0&c_{n}\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b9f8de6a68a229d76f4fe20f156a1850246fe6)
(avec
,
) et
est une matrice de permutation. En admettant que
soit triangulaire, les sommets de chacun des graphes
et
peuvent être décrits en termes de graphe
:
- Parmi tous les chemins
dans
, on peut trouver un chemin
dans
tel que
, où
est le vecteur
.
- Parmi tous les chemins
dans
, on peut trouver un chemin
dans
tel que
, où
est le
-simplex canonique de
.
Généralisation du théorème de Lagrange
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Lagrange a prouvé que pour un nombre réel irrationnel
, l'expansion en fraction continue de
est périodique si et seulement si
est un irrationnel quadratique . Les polyèdres de Klein permettent de généraliser ce résultat.
Soit
un corps de nombres de degré
, et
un plongement réel de
. Le cône simplicial
est dit être divisé sur
si
où
est une base de
sur
.
Étant donné un chemin
dans
, soit
. Le chemin est appelé périodique, avec une période de
, si
pour tous
. La matrice de période d'un tel chemin est définie comme étant
. Un chemin dans
ou
associé à un tel chemin est également dit périodique, avec la même matrice de période.
Le théorème de Lagrange généralisé stipule que pour un cône simplicial irrationnel
, avec générateurs
et
comme ci-dessus et avec un voile
, les trois conditions suivantes sont équivalentes:
est divisé sur un corps de nombres réels de degré
.
- Pour chacun des
il y a un chemin périodique passant par
dans
tel que le
s'approche asymptotiquement de la droite
; et toutes les matrices de période de ces chemins commutent.
- Pour chacun des
il y a un chemin périodique passant par les chambres
dans
tel que
s'approche asymptotiquement de l'hyperplan
; et toutes les matrices de période de ces chemins commutent.
Prenons
et
. Le cône simplicial
est divisé
. Les sommets de la voile sont les points
correspondant aux paires
de la fraction continue de
. Le chemin des sommets
dans le quadrant positif commence à
et est constitué de
. Soit
le segment de droite joignant
à
. On note
et
les réflexions de
et
suivant l'axe
. Enfin, on pose
, pour que
, et
.
,
,
, et
.
- Les chemins
et
sont périodiques (avec une période de 1) dans
, avec des matrices de période
et
. On a
et
.
- Les chemins
et
sont périodiques (avec une période de 1) dans
, avec matrices de période
e t
. On a
et
.
Généralisation de l'approximabilité
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Un nombre réel
est dit mal approximable s'il existe une constante c telle que
on ait
. Un nombre irrationnel est mal approximable si et seulement si les quotients partiels de sa fraction continue sont bornés[1]. Ce fait admet une généralisation en termes de polyèdres de Klein.
Étant donné un cône simplicial
dans
, avec
, on définit la norme minimale de
comme
.
Etant donnés les vecteurs
, on pose
. Il s'agit du volume (au sens euclidien) de
.
Soit
la voile d'un cône simplicial irrationnel
.
- Pour un sommet
de
, soit
où
sont des mailles élémentaires dans
générant les arêtes émanant de
.
- Pour un sommet
de
, soit
où
sont les extrémités de
.
Alors
si et seulement si
et
sont tous deux bornés.
Les quantités
et
sont appelés déterminants . En dimensions 2, avec le cône généré par
, il s'agit des quotients partiels de la fraction continue de
.
- ON allemand, 2007, "Polyèdres et treillis de Klein avec des minima normaux positifs". Journal de théorie des nombres de Bordeaux 19 : 175–190.
- EI Korkina, 1995, «Fractions continues bidimensionnelles. Les exemples les plus simples ". Proc. Institut de mathématiques Steklov 209 : 124–144.
- G. Lachaud, 1998, "Voiles et polyèdres de Klein" en mathématiques contemporaines 210 . American Mathematical Society: 373 – 385.