Polynôme d'Appell généralisé

En mathématiques, une suite de polynômes $(p_{n}(z))_{n\in \mathbb {N} }$ possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :

$K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$

où la fonction génératrice $K(z,w)$ est composée des séries :

• $A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}$ avec $a_{0}\neq 0$ ;
• $\Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}$ avec tous les $\Psi _{n}\neq 0$ ;
• $g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}$ avec $g_{1}\neq 0$.

Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que $p_{n}(z)$ est polynôme de degré $n$.

Cas particuliers

• Le choix de $g(w)=w$ donne la classe des polynômes de Brenke.
• Le choix de $\Psi (t)=\operatorname {e} ^{t}$ donne la suite des polynômes de Sheffer.
• Le choix simultané de $g(w)=w$ et de $\Psi (t)=\operatorname {e} ^{t}$ donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.

Représentation explicite

Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}$.

Le coefficient $h_{k}$ est

$h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\ldots g_{j_{k}}$

où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n.

Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}$.

Relations de récurrence

De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau $K(z,w)$ puisse être écrit comme $A(w)\Psi (zg(w))$ avec $g_{1}=1$ est que

${\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}$

où $b(w)$ et $c(w)$ ont un développement en série

$b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}$

et

$c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}$.

En faisant la substitution

$K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$,

il vient immédiatement la relation de récurrence :

$z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z)$.

Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a $g(w)=w$ et donc tous les $b_{n}$ sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Generalized Appell polynomials » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Ralph P. Boas, Jr. et R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions, New York/Berlin, Academic Press/Springer-Verlag, 1964, 2^e éd.
• (en) William C. Brenke, « On generating functions of polynomial systems », Amer. Math. Month., vol. 52,‎ 1945, p. 297-301
• (en) W. N. Huff, « The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) », Duke Math. J., vol. 14,‎ 1947, p. 1091-1104