Polynôme de Jensen

Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

En analyse, les polynômes de Jensen sont des polynômes liés à une fonction entière réelle, dont les coefficients vérifient une inégalité semblable aux inégalités de Turán. Ils sont étudiés dans le cadre de la résolution de l'hypothèse de Riemann.

Définition

On considère une suite réelle positive $(γ n)$ vérifiant des inégalités de Turán :

\forall n ⩾ 1, γ_{n}^{2} - γ_{n - 1} γ_{n + 1} ⩾ 0

et on définit la fonction entière :

f (x) := \sum_{n = 0}^{+ \infty} γ_{n} \frac{x^{n}}{n!}

Alors les polynômes de Jensen associés à la fonction $f$ sont la suite de polynômes définis par :

g_{n} (x) := \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) γ_{k} x^{k}

Application : l'hypothèse de Riemann

George Pólya a établi que l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'hyperbolicité de tous les polynômes de Jensen associés aux coefficients de Taylor de la fonction

(- 1 + 4 z^{2}) Λ (\frac{1}{2} + z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{γ_{n} z^{2 n}}{n!}

avec $Λ (z) = π^{- \frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) ζ (z) = \frac{2}{z (z - 1)} ξ (z)$ , avec $ξ$ la fonction xi de Riemann, et où un polynôme à coefficients réels est dit hyperbolique si tous ses zéros sont réels^[1]^,^[2].

Voir aussi

Références

↑ (en) Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen et Don Zagier, « Jensen polynomials for the Riemann zeta function and other sequences », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 116, n^o 23,‎ 21 mai 2019, p. 11103-11110 (DOI 10.1073/pnas.1902572116, lire en ligne [PDF])
↑ (en) Cormac O'Sullivan, « Zeros of Jensen polynomials and asymptotics for the Riemann xi function », .

Bibliographie

(en) S. Karlin et G. Szegö, « On certain determinants whose elements are orthogonal polynomials », J. Anal. Math., vol. 8,‎ 1960, p. 1–157 (DOI 10.1007/BF02786848).
(en) Thomas Craven et George Csordas, « Jensen polynomials and the Turán and Laguerre inequalities », Pacific Journal of Mathematics, vol. 136, n^o 2,‎ 1989, p. 241-260 (DOI 10.2140/pjm.1989.136.241, lire en ligne [PDF]).
(en) George Csordas, Richard S. Varga et István Vincze, « Jensen polynomials with applications to the Riemann ξ-function. », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 153, n^o 1,‎ 1990, p. 112-135 (DOI 10.1016/0022-247X(90)90269-L).

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Jensen Polynomial », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Turán's Inequalities », sur MathWorld

Portail de l'analyse

[1] (en) Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen et Don Zagier, « Jensen polynomials for the Riemann zeta function and other sequences », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 116, n^o 23,‎ 21 mai 2019, p. 11103-11110 (DOI 10.1073/pnas.1902572116, lire en ligne [PDF])

[2] (en) Cormac O'Sullivan, « Zeros of Jensen polynomials and asymptotics for the Riemann xi function », .

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