Polynôme de Schur
En mathématiques, les polynômes de Schur, nommés ainsi d'après le mathématicien Issai Schur, sont des polynômes symétriques particuliers, indexés par les partitions d'entiers, et qui généralisent les polynômes symétriques élémentaires et les polynômes symétriques homogènes complets. En théorie des représentations, ce sont les caractères des représentations polynomiales irréductibles du groupe général linéaire. Les polynômes de Schur forment une base de l'espace de tous les polynômes symétriques. Un produit de polynômes de Schur peut être écrit comme combinaison linéaire de polynômes de Schur à coefficients entiers naturels ; les valeurs de ces coefficients sont données par la règle de Littlewood-Richardson.
Il existe aussi des polynômes de Schur gauches qui sont associés à des couples de partitions et qui ont des propriétés similaires aux polynômes de Schur.
Définition
modifierLes polynômes de Schur sont indexés par les partitions d'entiers ou plus exactement, par les suites finies décroissantes d'entiers naturels. Étant donné un tel n-uplet λ = (λ1, λ2, … , λn), où les λj sont entiers et λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λn ≥ 0 (cette suite finie pouvant être vue comme une « partition » de l'entier d = ∑λj mais en un sens élargi puisque les derniers λj sont autorisés à être nuls), le polynôme suivant est alternant (en), c'est-à-dire qu'il est transformé en son opposé par une transposition des variables :
Il est donc divisible par le déterminant de Vandermonde, qui correspond au n-uplet δ = (n – 1, n – 2, … ,0) :
Le polynôme de Schur associé à λ est par définition[1] le polynôme quotient :
où les n-uplets λ et δ sont additionnés terme à terme. Il est symétrique, comme quotient de deux polynômes alternants.
Les polynômes de Schur de degré d en n variables forment une base de l'espace des polynômes symétriques homogènes de degré d en n variables.
Définitions équivalentes
modifierPour une partition donnée, le polynôme de Schur s'écrit aussi comme une somme de monômes, sous la forme :
où la sommation porte sur les tableaux de Young semi-standard de forme ; les exposants donnent le poids de : en d'autres termes, chaque compte les occurrences du nombre dans . Par exemple, le monôme associé au tableau est .
L'expression comme somme de poids de tableaux de Young est parfois prise comme définition, par exemple dans Sagan 2001.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Semistandard_Young_tableaux_of_shape_%283%2C_2%29_and_weight_%281%2C_1%2C_2%2C_1%29.png/120px-Semistandard_Young_tableaux_of_shape_%283%2C_2%29_and_weight_%281%2C_1%2C_2%2C_1%29.png)
Les relations avec d'autres bases s'expriment souvent explicitement. Une des bases considérées est celle des fonctions symétriques monomiales . Étant donné une partition , le polynôme est par définition[2] :
où la sommation est sur toutes les permutations des entiers de 1 à . Par exemple, pour , on obtient :
.
Les polynômes de Schur sont des combinaisons linéaires de polynômes symétriques monomiaux à coefficients entiers naturels notés et appelés les nombres de Kostka. Le nombre de Kostka (qui dépend de deux partitions et ) est égal par définition au nombre de tableaux de Young semi-standard de forme et de poids .
L'expression des polynômes de Schur comme combinaison de polynômes symétriques monomiaux est :
Les polynômes symétriques homogènes complets
c'est-à-dire la somme de tous les monômes de degré , en fournissent un autre exemple. Deux formules faisant intervenir des déterminants sont les formules de Jacobi-Trudi[3]. La première exprime les polynômes de Schur comme un déterminant en termes de polynômes symétriques homogènes complets :
Pour la partition de en une seule part, on a simplement
- .
La dernière relation se comprend facilement. En effet, si la partition comprend un seul terme, les tableaux de Young associés n'ont qu'une seule ligne à cellules, remplies par des entiers qui sont croissants au sens large. Chaque tableau correspond à un terme du polynôme symétrique homogène complet .
La deuxième formule exprime les polynômes de Schur comme un déterminant en termes de polynômes symétriques élémentaires. On note le polynôme symétrique élémentaire qui est la somme des produits distincts de variables distinctes parmi les . On a :
- ,
où est la partition duale de . Pour la partition dont toutes les parts valent 1, on obtient
- .
Là également, la dernière formule se comprend bien. Les tableaux de Young sont formés d'une seule colonne de cellules, et les entiers qui y figurent sont strictement croissants. Chaque tableau fournit donc un monôme du polynôme symétrique élémentaire .
Ces formules sont appelées les « identités déterminantales ». Un autre formule de ce type est la formule de Giambelli (en), qui exprime le polynôme de Schur d'une partition en termes de partitions en équerre contenues dans le diagramme de Young correspondant. Dans la notation de Frobenius, la partition est notée
où, pour chaque élément diagonal, en position , l'entier est le nombre de cellules à droite et sur la même ligne, et est le nombre de cellules en dessous et dans la même colonne (respectivement la longueur du « bras » et de la « jambe »).
L'identité de Giambelli exprime la partition comme le déterminant
- .
Enfin, l'évaluation du polynôme de Schur en (1,1,...,1) donne le nombre de tableaux de Young semi-standard de forme avec entrées dans . On peut montrer, en utilisant par exemple la formule des caractères de Weyl, que
Exemple
modifierL'exemple qui suit illustre ces définitions. On considère le cas . Les partitions de l'entier en au plus parts sont . On a
et ainsi de suite. La deuxième des formules de Jacobi-Trudi donne les expressions :
Tout polynôme symétrique homogène de degré 4 en trois variables s'exprime de façon unique comme combinaison linéaire de ces quatre polynômes de Schur. Considérons par exemple le polynôme :
C'est bien un polynôme symétrique homogène de degré 4 en trois variables. On trouve :
Relation avec la théorie des représentations
modifierLes polynômes de Schur interviennent dans la théorie des représentations des groupes symétriques, du groupe général linéaire, et des groupes unitaires. La formule des caractères de Weyl implique que les polynômes de Schur sont les caractères de représentations irréductibles de degré fini des groupes généraux linéaires, et ceci permet de généraliser les travaux de Schur à d'autres groupes de Lie compacts et semi-simples.
Plusieurs expressions sont des conséquences de cette relation. La plus importante est le développement de la fonction de Schur en termes de sommes de Newton . Si l'on note le caractère du groupe symétrique indexé par la partition évalué en des éléments dont le type de cycle est noté par la partition , alors[4]
où signifie que la partition a parts de longueur .
Fonctions de Schur gauches
modifierUne fonction de Schur gauche dépend de deux partitions et . Elle peut être définie par la propriété :
Comme pour les polynômes de Schur ordinaires, il y a diverses façons de les calculer. Les identités de Jacobi-Trudi correspondantes sont :
- ,
- .
Il y a aussi une interprétation combinatoire des polynômes de Schur gauches, à savoir comme somme sur tous les tableaux de Young semi-standard de forme :
où la sommation porte cette fois-ci sur les tableaux semi-standard de forme .
Articles connexes
modifier- Règle de Littlewood-Richardson, où sont données des identités sur des polynômes de Schur
- Polynômes de Schubert, une généralisation des polynômes de Schur
Notes et références
modifierNotes
modifier- C'est, d'après Sagan 2002, la définition originale de Schur.
- Lascoux 1984, p. 1.
- (it) « Nicola Trudi (1811 - 1884) », sur Mathematica Italiana.
- Stanley 1999, cor. 7.17.5.
Bibliographie
modifier- Alain Lascoux, « Fonctions symétriques », Séminaire Lotharingien de Combinatoire, vol. 8, , p. 37-58, article no B08f (lire en ligne)
- (en) Ian G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, The Clarendon Press Oxford University Press, coll. « Oxford Mathematical Monograph », , 2e éd., 475 p. (ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144)
- (en) Bruce E. Sagan, The Symmetric Group : Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions, New York/Berlin/Heidelberg etc., Springer-Verlag, coll. « GTM » (no 203), , 2e éd., 238 p. (ISBN 0-387-95067-2, présentation en ligne)
- (en) Bruce E. Sagan, « Schur functions in algebraic combinatorics », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
- (en) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 2 [détail des éditions] (présentation en ligne)
- (en) Bernd Sturmfels, Algorithms in Invariant Theory, New York, Springer, (ISBN 0-387-82445-6)