Polynôme de Shapiro

En analyse de Fourier, les polynômes de Shapiro, étudiés par Harold S. Shapiro en 1951 dans l'étude de l'amplitude des polynômes trigonométriques, sont des polynômes $P_{n}(z)$ et $Q_{n}(z)$ définis par la relation de récurrence :

Zéros du polynôme de degré 255.

$P_{0}(z)=Q_{0}(z)=1$

$P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z)$

$Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z)$

Ces polynômes vérifient la propriété :

$|P_{n}(z)|^{2}+|Q_{n}(z)|^{2}=2^{n+1}$

pour z sur le cercle unité.

Ces polynômes ont des applications en traitement du signal pour leurs bonnes propriétés d'autocorrélation et leurs valeurs petites sur le cercle unité.

Définitions

Les premiers polynômes de Shapiro sont :

${\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7}\\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+x-x^{2}+x^{3}\\Q_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\\...\\\end{aligned}}$

On peut également définir les polynômes de Shapiro par la suite de Rudin-Shapiro : pour $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, alors :

$P_{n}(z)=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{k}z^{k},\ Q_{n}(z)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{k}z^{2^{n}-1-k}=(-1)^{n}z^{2^{n}-1}P_{n}({\frac {1}{z}})$

Articles connexes

• Suite de Rudin-Shapiro
• Polynôme de Littlewood