Polynôme de Touchard

Les polynômes de Touchard, étudié par Jacques Touchard, aussi appelés polynômes exponentiels ou polynômes de Bell, constituent une suite de polynômes de type polynomial définie par

5ème polynôme de Touchard

$T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}$,

où $S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}$est le nombre de Stirling de seconde espèce qui compte le nombre de partitions d'un ensemble de $n$ éléments en $k$ sous-ensembles non vides disjoints.

Propriétés

• La valeur en 1 du $n$-ième polynôme de Touchard est le $n$-ième nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble de taille $n$ :

  $T_{n}(1)=B_{n}$.

• Les polynômes de Touchard vérifient

  $T_{n}(x)=\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}$.

• La suite de polynômes est de type binomial, et satisfait les identités

  $T_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)T_{n-k}(y)$.

• Les polynômes de Touchard sont la seule suite polynomiale de type binomial dont le coefficient du terme de degré 1 est égal à 1 dans chaque polynôme.

• Les polynômes de Touchard vérifient une formule de Rodrigues :

  $T_{n}\left(\mathrm {e} ^{x}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{x}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\;\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{x}}.$

• Les polynômes de Touchard vérifient les relations de récurrence :

  $T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)T_{n}(x)$ et $T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)$.

Pour $x=1$, elle se réduit à la formule de récurrence pour les nombres de Bell.

• Avec la notation $T^{n}(x)=T_{n}(x)$ empruntée au calcul ombral, ces formules deviennent :

  $T_{n}(x+y)=\left(T(x)+T(y)\right)^{n},$ et $T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.$

• La série génératrice des polynômes de Touchard est :

  $\sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=\mathrm {e} ^{x\left(\mathrm {e} ^{t}-1\right)}$,

ce qui correspond à la série génératrice des nombres de Stirling de seconde espèce.

• Les polynômes de Touchard admettent une représentation par intégrale de contour :

  $T_{n}(x)={\frac {n!}{2\mathrm {i} \pi }}\oint {\frac {\mathrm {e} ^{x({\mathrm {e} ^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,\mathrm {d} t$.

Zéros

Les zéros des polynômes de Touchard sont réels négatifs. Le plus petit zéro est minoré, en valeur absolue, par :

${\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},$

et il est conjecturé que le plus petit zéro croît linéairement avec l'index n.

On peut encadrer la mesure de Mahler $M(T_{n})$ des polynômes de Touchard comme suit :

${\frac {\displaystyle {\left\{{n \atop \Omega _{n}}\right\}}}{\displaystyle {\binom {n}{\Omega _{n}}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\}$

où $\Omega _{n}$ et $K_{n}$ sont les plus petits indices k qui maximisent respectivement $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}$ et $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace$.

Généralisations

• Les polynômes de Bell complets $B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ peuvent être vus comme une généralisation multivariée des polynômes de Touchard $T_{n}(x)$, puisque

  $T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x)$.

• Les polynômes de Touchard (et par conséquent aussi les nombres de Bell) peuvent être généralisés à des indices fractionnaires en utilisant la partie réelle de l’intégrale donnée plus haut :

  $T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{x{\bigl (}\mathrm {e} ^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Touchard polynomials » (voir la liste des auteurs).

Articles liés

• Polynôme de Bell
• mesure de Mahler
• Formule de Rodrigues