Les polynômes d'Askey-Wilson sont définis par :
p
n
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
∣
q
)
=
(
a
b
,
a
c
,
a
d
;
q
)
n
a
−
n
4
ϕ
3
[
q
−
n
a
b
c
d
q
n
−
1
a
e
i
θ
a
e
−
i
θ
a
b
a
c
a
d
;
q
,
q
]
{\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&a{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }&a{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]}
où
ϕ
{\displaystyle \phi }
est une fonction hypergéométrique de base (en) ,
x
=
cos
(
θ
)
{\displaystyle x=\cos(\theta )}
et
(
⋅
,
⋅
,
⋅
,
⋅
)
n
{\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot )_{n}}
est le q-symbole de Pochhammer étendu par la formule
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
r
;
q
)
n
:=
(
a
1
;
q
)
n
(
a
2
;
q
)
n
…
(
a
r
;
q
)
n
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{r};q)_{n}}
.
Ce sont des polynômes de degré n en
x
=
cos
θ
{\displaystyle x=\cos \theta }
.
Les polynômes
p
n
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
∣
q
)
{\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)}
sont symétriques en les paramètres
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
. Pour
x
=
(
a
+
a
−
1
)
/
2
{\displaystyle x=(a+a^{-1})/2}
, ils prennent la valeur particulière
p
n
(
(
a
+
a
−
1
)
/
2
;
a
,
b
,
c
,
d
∣
q
)
=
(
a
b
,
a
c
,
a
d
;
q
)
n
a
−
n
{\displaystyle p_{n}((a+a^{-1})/2;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}}
,
et de même
x
(
b
+
b
−
1
)
/
2
,
(
c
+
c
−
1
)
/
2
{\displaystyle x(b+b^{-1})/2,(c+c^{-1})/2}
et
(
d
+
d
−
1
)
/
2
{\displaystyle (d+d^{-1})/2}
. Pour des entiers
m
,
n
{\displaystyle m,n}
positifs ou nuls, il y a vérifient la relation de dualité
p
n
(
(
a
−
1
q
−
m
+
a
q
m
)
/
2
;
a
,
b
,
c
,
d
∣
q
)
p
n
(
(
a
−
1
+
a
)
/
2
;
a
,
b
,
c
,
d
∣
q
)
=
p
m
(
(
a
ˇ
−
1
q
−
n
+
a
ˇ
q
n
)
/
2
;
a
ˇ
,
b
ˇ
,
c
ˇ
,
d
ˇ
∣
q
)
p
m
(
(
a
ˇ
−
1
+
a
ˇ
)
/
2
;
a
ˇ
,
b
ˇ
,
c
ˇ
,
d
ˇ
∣
q
)
{\displaystyle {\frac {p_{n}((a^{-1}q^{-m}+aq^{m})/2;a,b,c,d\mid q)}{p_{n}((a^{-1}+a)/2;a,b,c,d\mid q)}}={\frac {p_{m}(({\check {a}}^{-1}q^{-n}+{\check {a}}q^{n})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}{p_{m}(({\check {a}}^{-1}+{\check {a}})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}}}
pour
a
=
q
−
1
/
2
(
a
ˇ
b
ˇ
c
ˇ
d
ˇ
)
1
/
2
{\displaystyle a=q^{-1/2}({\check {a}}{\check {b}}{\check {c}}{\check {d}})^{1/2}}
et
a
b
=
a
ˇ
b
ˇ
{\displaystyle ab={\check {a}}{\check {b}}}
,
a
c
=
a
ˇ
c
ˇ
{\displaystyle ac={\check {a}}{\check {c}}}
,
a
d
=
a
ˇ
d
ˇ
{\displaystyle ad={\check {a}}{\check {d}}}
.
Pour
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0<q<1}
, et pour quatre nombres réels
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
vérifiant
|
a
|
,
|
b
|
,
|
c
|
,
|
d
|
<
1
{\displaystyle |a|,|b|,|c|,|d|<1}
, on a la relation d'orthogonalité :
∫
−
1
1
p
n
(
x
)
p
m
(
x
)
w
(
x
)
d
x
=
h
n
δ
n
,
m
,
{\displaystyle \int _{-1}^{1}p_{n}(x)p_{m}(x)w(x)\,{\rm {d}}x=h_{n}\,\delta _{n,m},}
avec
h
0
:=
(
a
b
c
d
;
q
)
∞
(
q
,
a
b
,
a
c
,
a
d
,
b
c
,
b
d
,
c
d
;
q
)
∞
,
h
n
h
0
:=
1
−
a
b
c
d
q
n
−
1
1
−
a
b
c
d
q
2
n
−
1
(
q
,
a
b
,
a
c
,
a
d
,
b
c
,
b
d
,
c
d
;
q
)
n
(
a
b
c
d
;
q
)
n
.
{\displaystyle h_{0}:={\frac {(abcd;q)_{\infty }}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty }}}\,,\quad {\frac {h_{n}}{h_{0}}}:={\frac {1-abcdq^{n-1}}{1-abcdq^{2n-1}}}\,{\frac {(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{n}}{(abcd;q)_{n}}}.}
Pour des valeurs plus générales des paramètres, il existe une relation sous forme d'une intégrale de contour.
Le cas particulier de l’équation pour
n
=
m
=
0
{\displaystyle n=m=0}
est appelé l'intégrale d'Askey-Wilson .
Par la spécialisation de certains paramètres, on retrouve d'autres familles de polynômes orthogonaux (comme ci-dessus,
x
=
cos
θ
{\displaystyle x=\cos \theta }
) :
Polynômes de Al-Salam-Chihara :
Q
n
(
x
;
a
,
b
∣
q
)
:=
p
n
(
x
;
a
,
b
,
0
,
0
∣
q
)
{\displaystyle Q_{n}(x;a,b\mid q):=p_{n}(x;a,b,0,0\mid q)}
.
Polynômes de q -Jacobi continus :
P
n
(
α
,
β
)
(
x
;
q
)
∝
p
n
(
x
;
q
1
2
,
q
α
+
1
2
,
−
q
β
+
1
2
,
−
q
1
2
∣
q
)
∝
p
n
(
x
;
q
α
+
1
2
,
q
α
+
3
2
,
−
q
β
+
1
2
,
−
q
β
+
3
2
∣
q
2
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x;q)\propto \,p_{n}(x;q^{\frac {1}{2}},q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,p_{n}(x;q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},q^{\alpha +{\frac {3}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {3}{2}}}\mid q^{2})}
.
Polynômes q -ultrasphériques continus :
C
n
(
x
;
β
∣
q
)
:=
(
β
;
q
)
n
(
q
;
q
)
n
p
n
(
x
;
β
1
2
,
β
1
2
q
1
2
,
−
β
1
2
,
−
β
1
2
q
1
2
∣
q
)
=
∑
k
=
0
n
(
β
;
q
)
k
(
β
;
q
)
n
−
k
(
q
;
q
)
k
(
q
;
q
)
n
−
k
e
i
(
n
−
2
k
)
θ
{\displaystyle C_{n}(x;\beta \mid q):={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\,p_{n}(x;\beta ^{\frac {1}{2}},\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}}\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\beta ;q)_{k}(\beta ;q)_{n-k}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}(n-2k)\theta }}
.
Polynômes de q -Hermite continus :
H
n
(
x
∣
q
)
:=
(
q
;
q
)
n
C
n
(
x
;
0
∣
q
)
=
∑
k
=
0
n
(
q
;
q
)
n
(
q
;
q
)
k
(
q
;
q
)
n
−
k
e
i
(
n
−
2
k
)
θ
{\displaystyle H_{n}(x\mid q):=(q;q)_{n}\,C_{n}(x;0\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}(n-2k)\theta }}
.
p
n
(
x
;
1
,
−
1
,
q
1
2
,
−
q
1
2
∣
q
)
∝
cos
n
θ
,
p
n
(
x
;
q
,
−
q
,
q
1
2
,
−
q
1
2
∣
q
)
∝
sin
(
n
+
1
)
θ
sin
θ
{\displaystyle p_{n}(x;1,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,\cos n\theta ,\quad p_{n}(x;q,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}}
,
p
n
(
x
;
q
,
−
1
,
q
1
2
,
−
q
1
2
∣
q
)
∝
sin
(
n
+
1
2
)
θ
sin
1
2
θ
,
p
n
(
x
;
1
,
−
q
,
q
1
2
,
−
q
1
2
∣
q
)
∝
cos
(
n
+
1
2
)
θ
cos
1
2
θ
{\displaystyle p_{n}(x;q,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\sin {\frac {1}{2}}\theta }}\,,\quad p_{n}(x;1,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\cos(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\cos {\frac {1}{2}}\theta }}}
.
W
n
(
y
2
;
a
,
b
,
c
,
d
)
=
lim
q
↑
1
(
1
−
q
)
−
3
n
p
n
(
1
2
(
q
i
y
+
q
−
i
y
)
;
q
a
,
q
b
,
q
c
,
q
d
∣
q
)
{\displaystyle W_{n}(y^{2};a,b,c,d)=\lim _{q\uparrow 1}(1-q)^{-3n}p_{n}({\tfrac {1}{2}}(q^{{\rm {i}}y}+q^{-{\rm {i}}y});q^{a},q^{b},q^{c},q^{d}\mid q)}
.
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
lim
q
↑
1
P
n
(
α
,
β
)
(
x
;
q
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\lim _{q\uparrow 1}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x;q)}
.
Polynômes ultrasphériques :
C
n
λ
(
x
)
=
lim
q
↑
1
C
n
(
x
;
q
λ
∣
q
)
{\displaystyle C_{n}^{\lambda }(x)=\lim _{q\uparrow 1}C_{n}(x;q^{\lambda }\mid q)}
.
H
n
(
x
)
=
lim
q
↑
1
(
1
−
q
)
−
n
/
2
H
n
(
(
1
−
q
)
1
/
2
x
∣
q
2
)
{\displaystyle H_{n}(x)=\lim _{q\uparrow 1}(1-q)^{-n/2}H_{n}((1-q)^{1/2}x\mid q^{2})}
.
George Gasper et Mizan Rahman , Basic hypergeometric series , Cambridge University Press , coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (no 96), 2004 , 2e éd. , 428 p. (ISBN 978-0-521-83357-8 , MR 2128719 , lire en ligne )
Tom H. Koornwinder, Roderick S. C. Wong, Roelof Koekoek et René F. Swarttouw, « Askey-Wilson class » , dans : Frank W. J. Olver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark (éditeurs), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press (ISBN 978-0521192255 , MR 2723248 ) .
Tom H. Koornwinder , « Askey-Wilson polynomial », Scholarpedia , vol. 7, no 7, 2012 , p. 7761 (DOI 10.4249/scholarpedia.7761 , lire en ligne )