Polynôme de Bernstein
Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste[1],[2],[3]du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.
Description
modifierPour un degré m ≥ 0, il y a m + 1 polynômes de Bernstein Bm
0, ..., Bm
m définis, sur l'intervalle [0 ; 1], par
- ,
où les sont les coefficients binomiaux.
Les m + 1 polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus m.
Premiers polynômes
modifierLes polynômes de Bernstein pour les premiers ordres sont :
- n = 0
- n = 1
- n = 2
- n = 3
Propriétés
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Bernstein_poly_3.svg/260px-Bernstein_poly_3.svg.png)
Ces polynômes présentent plusieurs propriétés importantes :
- positivité :
- symétrie :
- valeurs aux bords :
-
- avec δ le symbole de Kronecker
- multiplicité des racines :
- pour Bm
i, 0 est une racine de multiplicité i et 1, une racine de multiplicité m – i.
- pour Bm
- formules de récurrence : pour m > 0,
- .
- décomposition sur la base canonique :
- et inversement
Lien avec la loi binomiale
modifierD'un point de vue probabiliste, pour tout p ∈ [0;1], Bm
i(p) est la probabilité , où X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (m,p). C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.
Notes et références
modifier- Sergueï Natanovitch Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », Communications de la Société mathématique de Kharkow Série 2, vol. 13, (lire en ligne)
- (en) Rida T. Farouki, « The Bernstein polynomial basis: A centennial retrospective », Computer Aided Geometric Design, vol. 29, no 6, , p. 379-419 (ISSN 0167-8396, DOI 10.1016/j.cagd.2012.03.001, lire en ligne)
- (en) Richard V. Kadison, « Bernstein Polynomials and Approximation »
Liens externes
modifier(en) Eric W. Weisstein, « Bernstein Polynomial », sur MathWorld
Voir aussi
modifier- Les courbes de Bézier sont construites à l'aide des polynômes de Bernstein
- Algorithme de De Casteljau, permet de calculer efficacement les polynômes de Bernstein
- Approximation de Bernstein, permet d'approcher uniformément des fonctions continues