Polynôme irréductible

En algèbre, un polynôme irréductible à coefficients dans un anneau intègre est un polynôme qui n’est ni inversible, ni produit de deux polynômes non inversibles.

Ce caractère irréductible des polynômes dépend de la nature des coefficients que peut accepter l'anneau sur lequel le polynôme est défini. Par exemple, le polynôme $x^{2}-8=(x-2{\sqrt {2}})(x+2{\sqrt {2}})$ est irréductible sur un anneau défini par des entiers, mais ne l'est pas sur un anneau définie par des réels.

Exemples

• Dans tout anneau intègre, les polynômes de degré 1 de la forme $aX+b$ avec a et b premiers entre eux sont irréductibles ;
• Dans $\mathbb {C} [X]$, les polynômes irréductibles sont exactement les polynômes de degré 1 ;
• Dans $\mathbb {R} [X]$, les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Irreducible Polynomial », sur MathWorld