Polynômes de Wilson

En mathématiques, les polynômes de Wilson sont une famille de polynômes orthogonaux introduits par James A. Wilson qui généralisent les polynômes de Jacobi, les polynômes de Hahn et les polynômes de Charlier.

Ils sont définis à l'aide de séries hypergéométriques et de symboles de Pochhammer par :

Soit $(x,a,b,c,d)\in \mathbb {R} ^{5},\,n\in \mathbb {N}$, on définit :

${\begin{aligned}W_{n}(x^{2})&=W_{n}(x^{2};a,b,c,d)\\&=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\,{}_{4}F_{3}(-n,a+b+c+d+n-1,a-\mathrm {i} x,a+\mathrm {i} x;a+b,a+c,a+d;1)\\&=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-n)_{k}(a+b+c+d+n-1)_{k}(a-ix)_{k}(a+\mathrm {i} x)_{k}}{(a+b)_{k}(a+c)_{k}(a+d)_{k}}}\,{\frac {1}{k!}}\\&=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-n)_{k}(a+b+c+d+n-1)_{k}(a-\mathrm {i} x)_{k}(a+\mathrm {i} x)_{k}}{(a+b)_{k}(a+c)_{k}(a+d)_{k}}}\,{\frac {1}{k!}}\qquad {\text{car }}(-n)_{k}=0{\text{ pour }}k>n\end{aligned}}$

De plus, $W_{n}$ est un polynôme de degré $n$ en $x^{2}$ ou un polynôme de degré $2n$ en $x$.

Propriétés

Soit $(x,a,b,c,d)\in \mathbb {R} ^{5},\,n\in \mathbb {N}$, alors :

$$W_{n}(x^{2};a,b,c,d)=W_{n}(x^{2};b,a,c,d)$$

Démonstration

Les polynômes de Wilson sont orthogonaux : si $a,b,c,d$ sont tous de partie réelle strictement positives et non conjugués deux à deux, alors on a:

${\begin{aligned}\forall (m,n)\in \mathbb {N} ^{2},{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{+\infty }\left|{\frac {\Gamma (a+\mathrm {i} x)\Gamma (b+\mathrm {i} x)\Gamma (c+\mathrm {i} x)\Gamma (d+\mathrm {i} x)}{\Gamma (2\mathrm {i} x)}}\right|^{2}&W_{m}(x^{2};a,b,c,d)W_{n}(x^{2};a,b,c,d)\,\mathrm {d} x\\=&(n+a+b+c+d-1)_{n}\,n!\,{\frac {\Gamma (n+a+b)\Gamma (n+a+c)\Gamma (n+a+d)\Gamma (n+b+c)\Gamma (n+b+d)\Gamma (n+c+d)}{\Gamma (2n+a+b+c+d)}}\delta _{m,n}\end{aligned}}$

Remarque

Les polynômes d'Askey-Wilson sont un q-analogue des polynômes de Wilson.

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wilson polynomials » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) « Polynômes de Wilson », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) Eric W. Weisstein, « Wilson Polynomial », sur MathWorld

Voir aussi

• Polynômes d'Askey-Wilson
• Polynômes de Jacobi
• Polynômes de Hahn
• Polynômes de Charlier