Polynômes orthogonaux multiples

Les polynômes orthogonaux multiples (POM) sont des polynômes orthogonaux dans une variable qui satisfait le critère d'orthogonalité par rapport à une famille finie de mesures $μ_{1}, \dots, μ_{r}$ . Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les polynômes orthogonaux multivariables. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées type 1 et type 2.

Dans la littérature, les polynômes orthogonaux multiples sont également appelés $d$ -polynômes orthogonaux, polynômes de Hermite-Padé^[1] ou polynômes polyorthogonaux^[2].

Polynômes orthogonaux multiples

Soit $\vec{n} = (n_{1}, \dots, n_{r}) \in ℕ^{r}$ un multi-indice et $μ_{1}, \dots, μ_{r}$ sont measures positives aux nombres réels. Comme d'habitude, $| \vec{n} | := n_{1} + n_{2} + \dots + n_{r}$ .

POM de type 1

Les polynômes de type 1 sont notés comme $A_{\vec{n}, j}$ pour $j = 1, 2, \dots, r$ et écrits comme a vecteur $(A_{\vec{n}, 1}, A_{\vec{n}, 2}, \dots, A_{\vec{n}, r})$ , où le $j$ ème polynôme $A_{\vec{n}, j}$ peut être au plus de degré $n_{j} - 1$ . De plus, ils doivent vérifier :

\sum_{j = 1}^{r} \int_{ℝ} x^{k} A_{\vec{n}, j} d μ_{j} (x) = 0, k = 0, 1, 2, \dots, | \vec{n} | - 2,

et

\sum_{j = 1}^{r} \int_{ℝ} x^{| \vec{n} | - 1} A_{\vec{n}, j} d μ_{j} (x) = 1.

On a donc un système d'équations $| \vec{n} |$ pour les $| \vec{n} |$ coefficients des polynômes $A_{\vec{n}, 1}, A_{\vec{n}, 2}, \dots, A_{\vec{n}, r}$ défini.

POM de type 2

Un polynôme $P_{\vec{n}} (x)$ est de type 2 s'il est monique et de degré $| \vec{n} |$ et le critère d'orthogonalité suivant est rempli :

\int_{ℝ} P_{\vec{n}} (x) x^{k} d μ_{j} (x) = 0, k = 0, 1, 2, \dots, n_{j} - 1, j = 1, \dots, r .

Remarques

Si on écrit toutes les équations $j = 1, \dots, r$ , on obtient la définition suivante du POM de type 2

\int_{ℝ} P_{\vec{n}} (x) x^{k} d μ_{1} (x) = 0, k = 0, 1, 2, \dots, n_{1} - 1

\int_{ℝ} P_{\vec{n}} (x) x^{k} d μ_{2} (x) = 0, k = 0, 1, 2, \dots, n_{2} - 1

⋮

\int_{ℝ} P_{\vec{n}} (x) x^{k} d μ_{r} (x) = 0, k = 0, 1, 2, \dots, n_{r} - 1

Bibliographie

(en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 9781107325982), chap. 23.
(en) Andrei Martinez-Finkelshtein et Walter Van Assche, WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial, vol. 63, 2016, p. 1029-1031.
(en) Walter Van Assche et Els Coussement, Some classical multiple orthogonal polynomials, vol. 127, Elsevier, 2001 (DOI 10.1016/s0377-0427(00)00503-3), chap. 1-2, p. 317-347.

Références

↑ (en) Adam Doliwa et Artur Siemaszko, « Hermite–Padé approximation and integrability », Journal of Approximation Theory, vol. 292,‎ août 2023 (DOI 10.1016/j.jat.2023.105910)
↑ (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 9781107325982).

Portail de l'analyse

[1] (en) Adam Doliwa et Artur Siemaszko, « Hermite–Padé approximation and integrability », Journal of Approximation Theory, vol. 292,‎ août 2023 (DOI 10.1016/j.jat.2023.105910)

[2] (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 9781107325982).

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