Potentiel effectif

Le potentiel effectif est une expression mathématique de l'énergie d'un corps en interaction gravitationnelle.

Démonstration

La loi de conservation de l'énergie mécanique implique qu'en l'absence de forces dissipatives, l'énergie mécanique $E_{m}$ reste constante.

L'objectif est d'exprimer cette énergie mécanique sous la forme : $E_{m}={\frac {1}{2}}mv^{2}+U_{eff}(r)$

La conservation du moment cinétique implique que $mr^{2}{\dot {\theta }}=L_{0}$.

En coordonnées polaires, la vitesse s'écrit $v^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}$ ; il vient alors :

$E_{m}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+\left[{\frac {L_{0}^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {k}{r}}\right]$

On aboutit ainsi à une équation reliant l'énergie cinétique radiale à un potentiel uniquement radial, le potentiel effectif :

$U_{\text{eff}}={\frac {L_{0}^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {k}{r}}$

somme d'un terme gravitationnel en $+{\frac {1}{r}}$ et d'un terme rotationnel en $+{\frac {1}{r^{2}}}$.

Représentation graphique des 3 situations en fonction de l'énergie potentielle du corps

On peut alors étudier le mouvement radial à l'aide d'une courbe : pour une énergie $E_{m}$ donnée, le domaine de $r$ possible est délimité par la courbe :

• pour $E<0$, on trouve deux valeurs limites, l'une inférieure et l'autre supérieure : il s'agit du péricentre et de l'apocentre d'une ellipse ;
• pour $E=0$, la valeur supérieure est renvoyée à l'infini : la trajectoire est celle d'une parabole ;
• pour $E>0$, il n'y a pas de limite supérieure : la trajectoire est donc une hyperbole.