Preuve ontologique de Gödel

La preuve ontologique de Gödel est un argument ontologique sous la forme d'un argument formel de logique modale du mathématicien Kurt Gödel (1906-1978) en faveur de l'existence de Dieu. L'idée de l'argumentation ontologique pour démontrer logiquement la nécessité de l'existence de Dieu et sa cohérence remonte à Anselme de Cantorbéry (1033-1109) ; aujourd'hui elle est reprise, reformulée, discutée et critiquée par plusieurs philosophes et logiciens contemporains.

Démonstration

La preuve s'appuie sur les définitions et axiomes suivants :

• Définition 1 : x est divin (propriété que l'on note G(x)) si et seulement si x contient toutes les propriétés qui sont positives.
• Définition 2 : A est une essence de x si et seulement si pour chaque propriété B, si x contient B alors A implique B.
• Définition 3 : x existe nécessairement si et seulement si chaque essence de x est nécessairement exemplifiée.
• Axiome 1 : Toute propriété nécessairement strictement impliquée par une propriété positive est positive.
• Axiome 2 : Une propriété est positive si et seulement si sa négation n'est pas positive.
• Axiome 3 : La propriété d'être divin est positive.
• Axiome 4 : Si une propriété est positive, alors elle est nécessairement positive.
• Axiome 5 : L'existence nécessaire est positive.

De ceux-ci et des axiomes de la logique modale, on déduit, dans l'ordre :

• Théorème 1 : Si une propriété est positive, alors elle est possiblement exemplifiée.
• Théorème 2 : La propriété d'être divin est possiblement exemplifiée.
• Théorème 3 : Si x est divin, alors la propriété d'être divin est une essence de x.
• Théorème 4 : La propriété d'être divin est nécessairement exemplifiée.

Pour faciliter la compréhension, on rappellera que :

• « Une propriété A implique une propriété B » signifie qu'il est nécessaire que tout élément qui contient A contienne également B ;
• « Une propriété est exemplifiée » signifie qu'il existe un élément qui contient cette propriété.

Écriture symbolique

Ax. 1. $P(\varphi )\land \Box \forall x[\varphi (x)\to \psi (x)]\to P(\psi )$

Ax. 2. $P(\neg \varphi )\Longleftrightarrow \neg P(\varphi )$

Th. 1. $P(\varphi )\to \Diamond \exists x[\varphi (x)]$

Df. 1. $G(x)\Longleftrightarrow \forall \varphi [P(\varphi )\to \varphi (x)]$

Ax. 3. $P(G)$

Th. 2. $\Diamond \exists x\,G(x)$

Df. 2. $\varphi \;\operatorname {ess} \;x\Longleftrightarrow \varphi (x)\land \forall \psi \{\psi (x)\to \Box \forall y[\varphi (y)\to \psi (y)]\}$

Ax. 4. $P(\varphi )\to \Box P(\varphi )$

Th. 3. $G(x)\to G\;\operatorname {ess} \;x$

Df. 3. $E(x)\Longleftrightarrow \forall \varphi [\varphi \;\operatorname {ess} \;x\to \Box \exists y\,\varphi (y)]$

Ax. 5. $P(E)$

Th. 4. $\Box \exists x\,G(x)$

où :

• $\Diamond \;A$ signifie « A est possible » ;
• $\Box \;A$ signifie « A est nécessaire » ;
• $P(\varphi )$ signifie « $\varphi$ est positive » ;
• $E(x)$ signifie « x existe nécessairement » ;
• $G(x)$ signifie « x est divin » ;
• $\varphi \;\operatorname {ess} \;x$ signifie « $\varphi$ est une essence de x ».

Historique

Kurt Gödel n'a jamais publié ce travail, qu'il a commencé en 1941 et perfectionné en 1954 et 1970. Piergiorgio Odifreddi estime que Gödel n'a pas voulu donner l'impression qu'il s'intéressait à la théologie, alors qu'il ne se souciait que de la partie logique de la réflexion. Il a, à plusieurs reprises, présenté cette preuve à des amis vers 1970, mais elle n'a été publiée qu'en 1987, neuf ans après sa mort^{[réf. souhaitée]}.

L'axiome 3 disait à l'origine qu'une conjonction de propriétés positives est également une propriété positive^{[réf. souhaitée]}. Mais des propriétés positives pourraient être incompatibles entre elles : leur conjonction serait une propriété impossible et G(x) serait faux pour chaque x (c'est-à-dire que la propriété d'être divin ne serait pas exemplifiée).

Critiques

Critique du raisonnement

La démonstration elle-même, c'est-à-dire le fait que la conclusion découle logiquement des axiomes et définitions choisis, est considérée comme valide. Elle a notamment été vérifiée par ordinateur.

Notion de positivité

Aucune définition de la notion de positivité n'est fournie avec la preuve. Tout au plus, les différents axiomes qui s'y rapportent peuvent être considérés comme fournissant une définition implicite partielle.

Leibniz, dont Gödel s'est inspiré, utilise cet adjectif pour les qualités qui rendent quelque chose « meilleur » que ce qu'il est sans elles.

Cette remarque, bien qu'exacte, ne fragilise en rien la démonstration. La preuve de Gödel ne prétend jamais définir exhaustivement ce qu'est une propriété positive ; elle traite cette notion comme un concept primitif — c'est-à-dire un concept qui n'est pas défini en termes d'autres concepts, mais qui est contraint par les axiomes qu'il doit satisfaire. La signification implicite de ce primitif est généralement comprise comme « n'impliquant aucune limitation » (en anglais limitation view), ainsi que l'a formulé Alexander Pruss. Elle établit seulement que si un ensemble cohérent de telles propriétés peut exister — c'est-à-dire satisfaire sans contradiction les contraintes axiomatiques posées — alors Dieu existe nécessairement. Autrement dit, elle ne requiert pas une définition complète de la positivité, mais uniquement la possibilité logique d'une notion de positivité respectant les axiomes.

Or, cette possibilité a été vérifiée formellement par ordinateur : les travaux de Christoph Benzmüller et Bruno Woltzenlogel Paleo (2014) ont prouvé la consistance interne des axiomes, écartant ainsi tout risque de contradiction cachée. La question n'est donc pas de savoir ce qu'est la positivité dans le détail, mais de constater qu'il est logiquement tenable qu'une telle notion existe — ce qui suffit, par la structure même du raisonnement modal, à imposer l'existence nécessaire de l'être sans limitation.

Objection kantienne

Une objection plus radicale pourrait surgir, inspirée de Kant : l'existence n'est pas un prédicat réel, donc on ne peut pas la qualifier de « positive » ou de « perfection ». Cette objection, appliquée nommément à la preuve de Gödel, a été formulée de manière détaillée par Jordan Howard Sobel, qui y voit une raison de rejeter l'axiome A5. Elle est aujourd'hui considérée comme l'une des critiques standard de l'argument, ainsi que le rappelle Graham Oppy dans son analyse de référence. Les défenseurs contemporains de la preuve eux-mêmes reconnaissent qu'il s'agit de « la critique la plus importante de l'argument de Gödel ».

Mais cette objection porte sur l'existence concrète, celle qui est censée s'ajouter au concept d'une chose. Or, la preuve de Gödel ne traite pas de l'existence empirique ou de l'instanciation dans le monde réel comme d'une propriété de premier ordre. Elle traite de l'existence nécessaire, qui est une propriété modale de second ordre : « exister dans tous les mondes possibles ». Ce n'est pas un prédicat qui distingue l'objet réel du simple possible, mais une détermination du mode d'être de l'objet, tout comme la contingence, la possibilité ou l'impossibilité.

Cette distinction entre existence contingente (dont Kant a montré qu'elle n'est pas un prédicat réel) et existence nécessaire (qui est une propriété modale) est au cœur de la défense de la preuve : Benzmüller et Woltzenlogel Paleo affirment que « la preuve de Gödel répond à cette critique, y compris l'objection de Kant », tandis qu'Anderson défend la positivité de l'existence nécessaire dans sa version révisée de l'argument. Cette réponse s'inscrit dans une tradition plus large : Plantinga et Hartshorne avaient déjà établi que si l'existence contingente n'est pas un prédicat, l'existence nécessaire en est un. Une fois cette distinction acceptée, il devient parfaitement légitime de se demander si l'existence nécessaire est une perfection — et les axiomes, en particulier A1 et A5, permettent d'y répondre rigoureusement.

Irréfutabilité des axiomes par l'absurde

Bien loin d'être un point faible, le traitement axiomatique de la positivité est la force de la preuve. En suivant ce raisonnement, on peut démontrer l'irréfutabilité de chacun des axiomes A1 à A5. Non parce qu'ils seraient stipulés arbitrairement, mais parce que toute tentative de construire un monde cohérent sans eux échoue : leur négation rend le monde lui-même contradictoire. Cette section explicite, étape par étape, pourquoi il en est ainsi.

De la cohérence à la nécessité

Les axiomes A1 à A5 sont ceux de la version révisée de la preuve par Anderson. Leur cohérence interne a été vérifiée par ordinateur (Benzmüller et Woltzenlogel Paleo, 2014). Cette vérification établit qu'aucune contradiction ne peut être dérivée de ces axiomes : ils définissent un système formel consistant.

À partir de cette consistance, la preuve démontre un résultat intermédiaire décisif, le Théorème 1 : toute propriété positive est possible, c'est-à-dire instanciée dans au moins un monde possible. La démonstration procède par l'absurde. Supposons qu'une propriété positive $\varphi$ soit impossible : elle n'existe dans aucun monde possible. Une chose impossible implique logiquement n'importe quoi (principe d'explosion) ; en particulier, $\varphi$ impliquerait une propriété $P$ et sa négation $\neg P$. Par l'Axiome 2 (clôture par implication), toute propriété impliquée par une propriété positive est positive, donc $P$ et $\neg P$ seraient toutes deux positives. Cela contredit l'Axiome 1 (exclusion des contraires). L'hypothèse est donc réfutée : une propriété positive ne peut pas être impossible. Elle existe dans au moins un monde possible.

Ce théorème s'applique immédiatement à la propriété « être divin », notée $G$. L'Axiome 3 affirme que $G$ est une propriété positive. Puisque toute propriété positive est possible, $G$ est possible. C'est le Théorème 2 de la preuve :

$\lozenge \exists x\,G(x)$

Autrement dit, il existe au moins un monde possible où un être sans limitation est instancié.

À partir de cette possibilité, la preuve démontre l'existence nécessaire. Ce passage repose sur deux éléments :

• L'Axiome 5, qui affirme que l'existence nécessaire est une propriété positive : $P(E)$.
• La définition de l'essence d'un individu : une propriété $\varphi$ est une essence de $x$ si $x$ possède $\varphi$ et si $\varphi$ implique toutes les propriétés de $x$.

En appliquant ces définitions, la preuve établit que si un être divin $G$ existe dans un monde possible, alors il possède la propriété d'exister nécessairement — c'est-à-dire qu'il existe dans tous les mondes possibles. Formellement :

$\lozenge \exists x\,G(x)\;\to \;\Box \exists x\,G(x)$

La conclusion ($\Box \exists x\,G(x)$) est le théorème final de la preuve. Elle signifie qu'un être sans limitation existe dans tout monde cohérent, sans exception.

Indépendance vis-à-vis du système modal

Ce résultat ne dépend pas d'un choix particulier de système modal (S5, S4, etc.). Il repose exclusivement sur le Principe de non-contradiction, condition universelle de toute pensée rationnelle. En effet, si un être sans limitation n'existait pas dans un monde cohérent, cette absence constituerait une limitation — ce qui contredit sa définition même. Ainsi, dès lors que l'existence d'un tel être est logiquement possible (ce que la cohérence des axiomes garantit), sa présence dans tout monde cohérent est une nécessité analytique, et non une stipulation dépendant d'un cadre modal particulier.

Solidarité logique des axiomes et de la conclusion

La vérification informatique de la cohérence des axiomes signifie rigoureusement que l'on ne peut dériver aucune contradiction de cet ensemble. Ce que font les démonstrations qui suivent n'est pas d'inventer une métaphysique alternative : c'est simplement de l'analyse conceptuelle, qui consiste à expliciter une conséquence directe de la structure de la preuve.

En effet, une fois établi que l'être sans limitation existe nécessairement ($\Box \exists x\,G(x)$), les axiomes qui fondent cette conclusion ne peuvent pas être de simples hypothèses contingentes. Si l'un d'eux pouvait être faux dans un monde possible, alors la possibilité de Dieu — qui repose sur la cohérence de l'ensemble des axiomes — ne serait plus garantie dans ce monde, et Dieu n'y existerait pas. Cela contredirait précisément la nécessité qui vient d'être prouvée. Nier un axiome, c'est donc affirmer que la conclusion nécessaire est en réalité contingente, ce qui est une absurdité logique.

C'est cette solidarité logique que les démonstrations par l'absurde qui suivent se contentent de déplier, axiome par axiome. Pour chacun, on montre que sa négation introduirait une contradiction dans le système, rendant le monde logiquement impossible.

Explicitation pour chaque axiome

A1 — Exclusion des contraires : $\forall \varphi \,[P(\varphi )\oplus P(\neg \varphi )]$

Si l'on rejetait A1, deux cas se présenteraient. Ou bien une propriété et sa négation seraient toutes deux positives : alors l'être sans limitation instancierait à la fois $\varphi$ et $\neg \varphi$, ce qui est une contradiction directe ($\varphi \wedge \neg \varphi$). Ou bien ni $\varphi$ ni $\neg \varphi$ ne seraient positives : la notion de positivité perdrait alors toute capacité à discriminer les perfections des imperfections, et le concept d'être sans limitation deviendrait inopérant. Dans les deux cas, le système cesse d'être un cadre cohérent pour parler de l'être sans limitation.

A2 — Clôture par implication : $P(\varphi )\land \Box \forall x[\varphi (x)\to \psi (x)]\;\to \;P(\psi )$

Rejeter A2 reviendrait à admettre qu'une perfection implique nécessairement une imperfection. L'être sans limitation serait alors nécessairement entaché d'une limitation — ce qui contredit sa définition même ($G$ ne peut posséder aucune limitation). La logique de l'implication serait brisée.

A3 — La nature divine est positive : $P(G)$

Nier A3, c'est affirmer que l'être sans limitation ne possède pas la propriété d'être sans limitation. Cela viole le principe d'identité ($G$ est $G$) et rend le concept de $G$ contradictoire avec lui-même.

A4 — Nécessité de la positivité : $P(\varphi )\to \Box P(\varphi )$

Si une propriété était positive dans un monde et négative dans un autre, alors la positivité ne serait plus une caractéristique stable de l'être. Dans un tel système, l'être sans limitation pourrait posséder une perfection dans un monde et en être privé dans un autre, ce qui réintroduit une contradiction analogue à celle de la négation d'A1.

A5 — L'existence nécessaire est positive : $P(E)$

Rejeter A5, c'est considérer que l'existence contingente est une propriété positive. L'être sans limitation posséderait alors la contingence, et son absence dans certains mondes deviendrait une possibilité logique. Une telle absence constituerait une limitation (l'être ne serait pas « sans limitation » dans les mondes où il n'existe pas). Cela contredit directement la définition de $G$.

Conclusion

Dans chaque cas, la négation d'un axiome ne rend pas Dieu incohérent ; elle rend le monde logique dans lequel on voudrait se placer impossible. Il ne reste ainsi aucun monde cohérent sans Dieu. Les axiomes ne sont pas des postulats optionnels : ils sont les conditions de cohérence que doit respecter tout discours rationnel sur l'être sans limitation. La preuve est ainsi verrouillée, sans dépendre d'un cadre modal particulier ni d'une définition exhaustive de la positivité.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gödel's ontological proof » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

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  • Texte de deux pages précédé d’une présentation par Robert Merrihew Adams, aux pages 388-402
• Sacha Bourgeois-Gironde, Bruno Gnassounou et Roger Pouivet (dir.), « Une preuve modale de l'existence de Dieu : K. Gödel », in Analyse et théologie : croyances religieuses et rationalité, J. Vrin, Paris, 2002, p. 109-116 (ISBN 2-7116-1549-9), lire en ligne
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Voir aussi

Articles connexes

• Argument ontologique
• Logique modale