Problème de Brocard

Le problème de Brocard est un problème de théorie des nombres qui demande de trouver des valeurs entières de n et m vérifiant l'équation diophantienne :

$n!+1=m^{2}$,

où n! est la fonction factorielle. Celui-ci a été posé par Henri Brocard dans deux articles en 1876 et 1885, et indépendamment en 1913 par Srinivasa Ramanujan.

Nombres de Brown

Les couples d'entiers (n, m) étant solutions du problème de Brocard sont dits nombres de Brown. Il n'y a que trois paires connues de nombres de Brown : (4,5), (5,11) et (7,71).

Paul Erdős a conjecturé qu'il n'existe pas d'autres solutions. Overholt, en 1993, a montré qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions, à condition que la conjecture abc soit vraie. Berndt et Galway en 2000 ont effectué des calculs pour n ＜ 10⁹ et n'ont trouvé aucune solution supplémentaire. Matson a affirmé en 2017 avoir étendu ces calculs à 10¹². En 2020, ces calculs (utilisant la détermination de résidus quadratiques modulo de grands nombres premiers) ont été étendus à 10¹⁵ par Epstein et Glickman.

Variantes du problème

Dabrowski a généralisé le résultat d'Overholt en 1996 en montrant qu'il découlerait de la conjecture abc que

$n!+A=k^{2}$

ne possède seulement qu'un nombre fini de solutions, pour un nombre entier donné A. Ce résultat a été encore généralisé par Luca (2002), qui a montré (en supposant encore une fois la conjecture abc vraie) que l'équation

$n!=P(x)$

a seulement un nombre fini de solutions entières pour un polynôme donné P de degré au moins 2 à coefficients entiers.

Cushinge et Pascoe ont montré en 2016 qu'il découlerait de la conjecture abc que

$n!+K=m,$

a seulement un nombre fini de solutions, où K est un nombre entier et $m=a^{2}b^{3}$ est un nombre puissant.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Brocard's problem » (voir la liste des auteurs).

• Bruce C. Berndt et William F. Galway, « The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m² », The Ramanujan Journal, 1409 West Green Street,Urbana, Illinois 61801, USA, Department of Mathematics, University of Illinois, vol. 4, n^o 1,‎ mars 2000, p. 41–42 (DOI 10.1023/A:1009873805276, présentation en ligne, lire en ligne).
• H. Brocard, « Question 166 », Nouvelle Correspondance Mathématique, vol. 2,‎ 1876 (présentation en ligne).
• H. Brocard, « Question 1532 », Nouvelles Annales de Mathématiques, vol. 4,‎ 1885 (présentation en ligne).
• A. Dabrowski, « On the Diophantine Equation x! + A = y² », Nieuw Archief voor Wiskunde, vol. 14,‎ janvier 1996, p. 321–324 (présentation en ligne).
• R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1994, 2^e éd. (ISBN 0-387-90593-6), « D25: Equations Involving Factorial », p. 193–194.
• Florian Luca, « The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt », Glasnik Matematički, vol. 37,‎ 2002, p. 269–273 (lire en ligne).
• Robert Matson, « Brocard’s Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues », Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography,‎ 2017 (lire en ligne).
• Marius Overholt, « The diophantine equation n! + 1 = m² », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 25, n^o 2,‎ 1993, p. 104 (DOI 10.1112/blms/25.2.104).
• (en) Auteur inconnu, « Powerful numbers and the ABC-conjecture », 2016..

Liens externes

• Ed Copeland, « Brown Numbers », Numberphile, sur Numberphile, Brady Haran