Problème de Souslin
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En mathématiques, le problème de Souslin est une question sur les ensembles totalement ordonnés, posée par Mikhaïl Souslin dans un article publié en 1920 peu après sa mort[1].
Formulation
modifierÉtant donné un ensemble non vide S totalement ordonné tel que :
- S n'a pas de plus grand ni de plus petit élément ;
- l'ordre sur S est dense (c'est-à-dire qu'entre deux éléments distincts de S il y en a toujours au moins un troisième) ;
- toute partie non vide majorée admet une borne supérieure, et toute partie non vide minorée admet une borne inférieure ;
- toute famille d'intervalles ouverts non vides de S deux à deux disjoints est dénombrable (c'est la condition de chaîne dénombrable),
existe-t-il nécessairement un isomorphisme pour l'ordre entre S et la droite réelle ? La réponse par l'affirmative constitue ce qui est connu comme l'hypothèse de Souslin.
Tout ensemble non vide totalement ordonné qui satisfait les conditions 1 à 4 et qui n'est pas isomorphe pour l'ordre à R est une droite de Souslin. L'hypothèse de Souslin est donc qu'il n'existe pas de droite de Souslin.
Il a été démontré que cette hypothèse est indépendante des axiomes ZFC de la théorie des ensembles[2].
Les droites de Souslin existent si l'axiome de constructibilité V = L est ajouté à la théorie.
Voir aussi
modifierNotes et références
modifier- M. Souslin, « Problème 3 », Fundamenta Mathematicae, vol. 1, , p. 223
- (en) R. M. Solovay et S. Tennenbaum, « Iterated Cohen extensions and Souslin's problem », Annals of Math. (2), vol. 94, , p. 201-245 (DOI 10.2307/1970860)
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Suslin's problem » (voir la liste des auteurs).
