Processus arrêté

En théorie des probabilités, un processus arrêté est un processus stochastique qui garde la même valeur à partir d'un instant donné (éventuellement aléatoire). Par exemple, dans la modélisation d'un jeu d'argent, comme une succession de mises à la roulette, ce concept peut rendre compte de la notion d'arrêt au bout d'un certain nombre de parties, ou d'arrêt quand un certain seuil de gain ou de perte a été franchi, sans devoir écrire une modélisation spécifique pour chaque condition d'arrêt, mais en exploitant celle du « jeu de roulette infini » comme cadre général.

Définition

Soient

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ un espace de probabilité;
• $(\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})$ un espace mesurable, l'espace d'états ;
• $X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {X}$ un processus stochastique ;
• $\tau :\Omega \to [0,+\infty ]$ un temps d'arrêt par rapport à une filtration $\{{\mathcal {F}}_{t}|t\geq 0\}$ de la σ-algèbre ${}{\mathcal {F}}$.

Le processus arrêté $X^{\tau }$ est défini pour $t\geq 0$ et $\omega \in \Omega$ par: $X_{t}^{\tau }(\omega ):=X_{\min\{t,\tau (\omega )\}}(\omega )$