Processus de Poisson composé

Un processus de Poisson composé, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, est un processus stochastique en temps continu à droite limité à gauche (Càdlàg). C'est en particulier un processus de Lévy.

Définition

Un processus de Poisson composé est un processus aléatoire indexé par le temps qui s’écrit $Z_{t}=\sum _{n=1}^{N_{t}}Y_{n}$ où $(N_{t})_{t\in [0,+\infty [}$ est un processus de Poisson et $(Y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées et indépendantes de $(N_{t})$.

Propriétés

Accroissements

Comme tout processus de Lévy, le processus de Poisson composé est à accroissements indépendants et à accroissements stationnaires. De plus, les lois de ses accroissements sont infiniment divisibles.

Moments

Espérance

Moment d'ordre 1 —  Si $Y_{1}$ admet un moment d'ordre 1, alors pour tout $t\in [0,+\infty [$ la variable aléatoire $Z_{t}$ possède un moment d'ordre 1 et

$\mathbb {E} (Z_{t})=\lambda t\mathbb {E} (Y_{1}),$ où $\lambda$ est l'intensité du processus de Poisson $(N_{t})_{t\in [0,+\infty [}$.

Démonstration

Fixons $t$ et montrons que $Z_{t}$ est intégrable.

$\mathbb {E} (|Z_{t}|)=\sum _{n\geq 1}\int 1\!\!1_{N_{t}=n}\left|\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right|d\mathbb {P} \leq \sum _{n\geq 1}\mathbb {E} \left(1\!\!1_{N_{t}=n}\sum _{k=1}^{n}|Y_{k}|\right)$.

Mais $1\!\!1_{N_{t}=n}$ et $\sum _{k=1}^{n}|Y_{k}|$ sont indépendants, d'où

$\mathbb {E} (|Z_{t}|)\leq \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (N_{t}=n)\mathbb {E} \left(\sum _{k=1}^{n}|Y_{k}|\right)\leq \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (N_{t}=n)n\mathbb {E} (|Y_{1}|)\leq \mathbb {E} (N_{t})\mathbb {E} (|Y_{1}|)$.

Or $N_{t}$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda t$, d'où $\mathbb {E} (|Z_{t}|)<\lambda t\mathbb {E} (|Y_{1}|)<+\infty$.

De la même façon et en utilisant le Théorème de convergence dominée, on peut montrer cette fois que $\mathbb {E} (Z_{t})=\lambda t\mathbb {E} (Y_{1})$.

Variance

Variance —  Si $Y_{1}$ admet un moment d'ordre 2, alors pour tout $t$, $Z_{t}$ admet un moment d'ordre 2 et on a

$\mathrm {Var} (Z_{t})=\lambda t\mathbb {E} (Y_{1}^{2})$.

Démonstration

Fixons $t$. On conditionne par le système complet d'événements $\{N_{t}=n\}$ pour montre que $Z_{t}$ possède un moment d'ordre 2.

$\mathbb {E} (|Z_{t}|^{2})=\sum _{n\geq 1}\mathbb {E} \left(\left|\sum _{k=1}^{N_{t}}Y_{k}\right|^{2}\,{\bigg |}N_{t}=n\right)\mathbb {P} (N_{t}=n)$.

Par indépendance de processus $(N_{t})_{t}$ avec la suite $(Y_{i})_{i}$,

$\mathbb {E} \left(\left|\sum _{k=1}^{N_{t}}Y_{k}\right|^{2}\,{\bigg |}N_{t}=n\right)=\mathbb {E} (|\sum _{k=1}^{n}Y_{k}|^{2})$.

Ainsi

$\mathbb {E} \left(|Z_{t}|^{2}\right)=\sum _{n\geq 1}\mathbb {E} \left(\left|\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right|^{2}\right)\mathbb {P} (N_{t}=n)\leq \sum _{n\geq 1}\mathbb {E} \left(\sum _{k=1}^{n}|Y_{k}|^{2}\right)\mathbb {P} (N_{t}=n)$

On a alors

$\mathbb {E} (|Z_{t}|^{2})\leq \sum _{n\geq 1}(n\mathrm {Var} (|Y_{1}|)+(n\mathbb {E} (|Y_{1}|))^{2})\mathbb {P} (N_{t}=n)\leq \mathbb {E} (N_{t})\mathrm {Var} (|Y_{1}|)+\mathbb {E} (N_{t}^{2})\mathbb {E} (|Y_{1}|)^{2}$

$(Z_{t})_{t}$ est donc de carré intégrable. Il faut donc maintenant exprimer $\mathbb {E} (Z_{t}^{2})$.

$\mathbb {E} (Z_{t}^{2})=\sum _{n\geq 1}\mathbb {E} (Z_{t}^{2}|N_{t}=n)\mathbb {P} (N_{t}=n)=\mathbb {E} (N_{t})\mathrm {Var} (Y_{1})+\mathbb {E} (N_{t}^{2})(\mathbb {E} (Y_{1}))^{2}$

D'où

$\mathrm {Var} (Z_{t})=\mathbb {E} (N_{t})\mathrm {Var} (Y_{1})+\mathrm {Var} (N_{t})(\mathbb {E} (Y_{1}))^{2}=\lambda t\mathbb {E} (Y_{1}^{2}).$

Loi des grands nombres

On peut écrire une loi des grands nombres pour le processus de Poisson composé.

Théorème — Si les $Y_{i}$ ont un moment d'ordre 2, alors

$\mathbb {P} \left(\lim _{t\to +\infty }{\dfrac {Z_{t}}{N_{t}}}=\mathbb {E} (Y_{1})\right)=1$

Démonstration

D'après la loi des grands nombres sur $(N_{t})_{t}$, on a $\lim _{t\to +\infty }{\dfrac {N_{t}}{t}}=\lambda$. D'où $\lim _{t\to +\infty }N_{t}=+\infty$ presque sûrement.

$Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{N}$ sont i.i.d. et de carré intégrable. d'après la loi gforte des grands nombres pour les $(Y_{i})_{i}$ on a

${\dfrac {\sum _{i=1}^{N}Y_{i}}{N}}{\underset {N\to +\infty }{\longrightarrow }}\mathbb {E} (Y_{1}).$

Comme $N_{t}$ tend presque sûrement vers $+\infty$, on a le résultat.

Fonction caractéristique

La fonction caractéristique de $(Z_{t})_{t}$ détermine entièrement sa loi de probabilité.

Théorème —  La fonction caractéristique d'un processus de Poisson composé $(Z_{t})_{t}$ d'intensité $\lambda$ s'écrit

$\Phi _{Z_{t}}(\xi )=\mathrm {e} ^{\lambda t(\Phi _{Y_{1}}(\xi )-1)}$

Démonstration

Par définition de la fonction caractéristique et par la formule de la formule de l'espérance totale, on a

$\Phi _{Z_{t}}(\xi )=\sum _{n\geq 0}\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi Z_{t}}|N_{t}=n)\mathbb {P} (N_{t}=n)=\sum _{n\geq 0}\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=0}^{N_{t}}Y_{j}}{\bigg |}N_{t}=n\right)\mathbb {P} (N_{t}=n)$

Et par indépendance entre le processus $(N_{t})_{t}$ et la suite de variables aléatoires $(Y_{j})_{j}$, on a que $\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=0}^{N_{t}}Y_{j}}|N_{t}=n)=\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=1}^{n}Y_{j}}).$ D'où

$\Phi _{Z_{t}}(\xi )=\sum _{n\geq 0}\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=1}^{n}Y_{j}})\mathrm {e} ^{-\lambda t}{\dfrac {(\lambda t)^{n}}{n!}}.$

Et par indépendance entre les $Y_{j}$, on a $\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \sum _{j=1}^{n}Y_{j}})=\Phi _{Y_{1}}(\xi )^{n}$. On a donc

$\Phi _{Z_{t}}(\xi )=\mathrm {e} ^{-\lambda t}\sum _{n\geq 0}(\Phi _{Y_{1}}(\xi ))^{n}{\dfrac {(\lambda t)^{n}}{n!}}=\mathrm {e} ^{\lambda t(\Phi _{Y_{1}}(\xi )-1)}.$

Théorème central limite

On peut établir un théorème de convergence pour le processus $(Z_{t})_{t}$.

Théorème —  Soit $(Z_{t})_{t}$ un processus de Poisson composé d'intensité $\Lambda$. On suppose les $Y_{i}$ centrées, réduites et indépendantes et identiquement distribuées. On a alors la convergence en loi suivante

${\dfrac {Z_{t}}{\sqrt {N_{t}}}}\ {\underset {t\to +\infty }{\xrightarrow {\mathcal {L}} }}\ {\mathcal {N}}(0,1).$

Démonstration

On utilise la fonction caractéristique de $(Z_{t})_{t}$ et on fait un développement limité de $\Phi _{Y_{1}}$, au voisinage de 0 (ce qui revient à faire tendre t vers l'infini). On reconnaitra la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant une loi Normale. on conclut alors par théorème de continuité de Paul-Levy

Annexes

Bibliographie

• D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, PPUR presses polytechniques, 2009
• J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. (ISBN 0-52164-632-4)
• Y. Caumel, Probabilités et Processus Stochastiques, Springer Verlag France, 2011, (ISBN 2817801628)

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Compound Poisson process » (voir la liste des auteurs).