Processus de Poisson composé

Un processus de Poisson composé, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, est un processus stochastique en temps continu à droite limité à gauche (Càdlàg). C'est en particulier un processus de Lévy.

Définition

Un processus de Poisson composé est un processus aléatoire indexé par le temps qui s’écrit $Z_{t} = \sum_{n = 1}^{N_{t}} Y_{n}$ où $(N_{t})_{t \in [0, + \infty [}$ est un processus de Poisson et $(Y_{i})_{i \in ℕ}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées et indépendantes de $(N_{t})$ .

Propriétés

Accroissements

Comme tout processus de Lévy, le processus de Poisson composé est à accroissements indépendants et à accroissements stationnaires. De plus, les lois de ses accroissements sont infiniment divisibles.

Moments

Espérance

Moment d'ordre 1 — Si $Y_{1}$ admet un moment d'ordre 1, alors pour tout $t \in [0, + \infty [$ la variable aléatoire $Z_{t}$ possède un moment d'ordre 1 et

𝔼 (Z_{t}) = λ t 𝔼 (Y_{1}),

où

λ

est l'intensité du processus de Poisson

(N_{t})_{t \in [0, + \infty [}

.

Démonstration

Fixons $t$ et montrons que $Z_{t}$ est intégrable.

𝔼 (| Z_{t} |) = \sum_{n \geq 1} \int 1 1_{N_{t} = n} | \sum_{k = 1}^{n} Y_{k} | d ℙ \leq \sum_{n \geq 1} 𝔼 (1 1_{N_{t} = n} \sum_{k = 1}^{n} | Y_{k} |)

.

Mais $1 1_{N_{t} = n}$ et $\sum_{k = 1}^{n} | Y_{k} |$ sont indépendants, d'où

𝔼 (| Z_{t} |) \leq \sum_{n \geq 1} ℙ (N_{t} = n) 𝔼 (\sum_{k = 1}^{n} | Y_{k} |) \leq \sum_{n \geq 1} ℙ (N_{t} = n) n 𝔼 (| Y_{1} |) \leq 𝔼 (N_{t}) 𝔼 (| Y_{1} |)

.

Or $N_{t}$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ t$ , d'où $𝔼 (| Z_{t} |) < λ t 𝔼 (| Y_{1} |) < + \infty$ .

De la même façon et en utilisant le Théorème de convergence dominée, on peut montrer cette fois que $𝔼 (Z_{t}) = λ t 𝔼 (Y_{1})$ .

Variance

Variance — Si $Y_{1}$ admet un moment d'ordre 2, alors pour tout $t$ , $Z_{t}$ admet un moment d'ordre 2 et on a

V a r (Z_{t}) = λ t 𝔼 (Y_{1}^{2})

.

Démonstration

Fixons $t$ . On conditionne par le système complet d'événements ${N_{t} = n}$ pour montre que $Z_{t}$ possède un moment d'ordre 2.

𝔼 (| Z_{t} |^{2}) = \sum_{n \geq 1} 𝔼 ({| \sum_{k = 1}^{N_{t}} Y_{k} |}^{2} | N_{t} = n) ℙ (N_{t} = n)

.

Par indépendance de processus $(N_{t})_{t}$ avec la suite $(Y_{i})_{i}$ ,

𝔼 ({| \sum_{k = 1}^{N_{t}} Y_{k} |}^{2} | N_{t} = n) = 𝔼 (| \sum_{k = 1}^{n} Y_{k} |^{2})

.

Ainsi

𝔼 (| Z_{t} |^{2}) = \sum_{n \geq 1} 𝔼 ({| \sum_{k = 1}^{n} Y_{k} |}^{2}) ℙ (N_{t} = n) \leq \sum_{n \geq 1} 𝔼 (\sum_{k = 1}^{n} | Y_{k} |^{2}) ℙ (N_{t} = n)

On a alors

𝔼 (| Z_{t} |^{2}) \leq \sum_{n \geq 1} (n V a r (| Y_{1} |) + (n 𝔼 (| Y_{1} |))^{2}) ℙ (N_{t} = n) \leq 𝔼 (N_{t}) V a r (| Y_{1} |) + 𝔼 (N_{t}^{2}) 𝔼 (| Y_{1} |)^{2}

$(Z_{t})_{t}$ est donc de carré intégrable. Il faut donc maintenant exprimer $𝔼 (Z_{t}^{2})$ .

𝔼 (Z_{t}^{2}) = \sum_{n \geq 1} 𝔼 (Z_{t}^{2} | N_{t} = n) ℙ (N_{t} = n) = 𝔼 (N_{t}) V a r (Y_{1}) + 𝔼 (N_{t}^{2}) (𝔼 (Y_{1}))^{2}

D'où

V a r (Z_{t}) = 𝔼 (N_{t}) V a r (Y_{1}) + V a r (N_{t}) (𝔼 (Y_{1}))^{2} = λ t 𝔼 (Y_{1}^{2}) .

Loi des grands nombres

On peut écrire une loi des grands nombres pour le processus de Poisson composé.

Théorème — Si les $Y_{i}$ ont un moment d'ordre 2, alors

ℙ (lim_{t \to + \infty} \frac{Z_{t}}{N_{t}} = 𝔼 (Y_{1})) = 1

Démonstration

D'après la loi des grands nombres sur $(N_{t})_{t}$ , on a $lim_{t \to + \infty} \frac{N_{t}}{t} = λ$ . D'où $lim_{t \to + \infty} N_{t} = + \infty$ presque sûrement.

$Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{N}$ sont i.i.d. et de carré intégrable. d'après la loi gforte des grands nombres pour les $(Y_{i})_{i}$ on a

\frac{\sum_{i = 1}^{N} Y_{i}}{N} \underset{N \to + \infty}{⟶} 𝔼 (Y_{1}) .

Comme $N_{t}$ tend presque sûrement vers $+ \infty$ , on a le résultat.

Fonction caractéristique

La fonction caractéristique de $(Z_{t})_{t}$ détermine entièrement sa loi de probabilité.

Théorème — La fonction caractéristique d'un processus de Poisson composé $(Z_{t})_{t}$ d'intensité $λ$ s'écrit

Φ_{Z_{t}} (ξ) = e^{λ t (Φ_{Y_{1}} (ξ) - 1)}

Démonstration

Par définition de la fonction caractéristique et par la formule de la formule de l'espérance totale, on a

Φ_{Z_{t}} (ξ) = \sum_{n \geq 0} 𝔼 (e^{- i ξ Z_{t}} | N_{t} = n) ℙ (N_{t} = n) = \sum_{n \geq 0} 𝔼 (e^{- i ξ \sum_{j = 0}^{N_{t}} Y_{j}} | N_{t} = n) ℙ (N_{t} = n)

Et par indépendance entre le processus $(N_{t})_{t}$ et la suite de variables aléatoires $(Y_{j})_{j}$ , on a que $𝔼 (e^{- i ξ \sum_{j = 0}^{N_{t}} Y_{j}} | N_{t} = n) = 𝔼 (e^{- i ξ \sum_{j = 1}^{n} Y_{j}}) .$ D'où

Φ_{Z_{t}} (ξ) = \sum_{n \geq 0} 𝔼 (e^{- i ξ \sum_{j = 1}^{n} Y_{j}}) e^{- λ t} \frac{(λ t)^{n}}{n!} .

Et par indépendance entre les $Y_{j}$ , on a $𝔼 (e^{- i ξ \sum_{j = 1}^{n} Y_{j}}) = Φ_{Y_{1}} (ξ)^{n}$ . On a donc

Φ_{Z_{t}} (ξ) = e^{- λ t} \sum_{n \geq 0} (Φ_{Y_{1}} (ξ))^{n} \frac{(λ t)^{n}}{n!} = e^{λ t (Φ_{Y_{1}} (ξ) - 1)} .

Théorème central limite

On peut établir un théorème de convergence pour le processus $(Z_{t})_{t}$ .

Théorème — Soit $(Z_{t})_{t}$ un processus de Poisson composé d'intensité $Λ$ . On suppose les $Y_{i}$ centrées, réduites et indépendantes et identiquement distribuées. On a alors la convergence en loi suivante

\frac{Z_{t}}{\sqrt{N_{t}}} \underset{t \to + \infty}{\overset{ℒ}{\to}} 𝒩 (0, 1) .

Démonstration

On utilise la fonction caractéristique de $(Z_{t})_{t}$ et on fait un développement limité de $Φ_{Y_{1}}$ , au voisinage de 0 (ce qui revient à faire tendre t vers l'infini). On reconnaitra la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant une loi Normale. on conclut alors par théorème de continuité de Paul-Levy

Annexes

Bibliographie

D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, PPUR presses polytechniques, 2009
J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. (ISBN 0-52164-632-4)
Y. Caumel, Probabilités et Processus Stochastiques, Springer Verlag France, 2011, (ISBN 2817801628)

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Compound Poisson process » (voir la liste des auteurs).

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