Processus télégraphique

En théorie des probabilités, le processus télégraphique est un processus stochastique à temps continu sans mémoire qui présente deux valeurs distinctes. Il modélise le bruit en créneaux (également appelé bruit popcorn ou signal télégraphique aléatoire). Si les deux valeurs possibles d'une variable aléatoire sont $c_{1}$ et $c_{2}$ , le processus peut être décrit par les équations maîtresses suivantes :

\partial_{t} P (c_{1}, t | x, t_{0}) = - λ_{1} P (c_{1}, t | x, t_{0}) + λ_{2} P (c_{2}, t | x, t_{0})

et

\partial_{t} P (c_{2}, t | x, t_{0}) = λ_{1} P (c_{1}, t | x, t_{0}) - λ_{2} P (c_{2}, t | x, t_{0})

où $λ_{1}$ est le taux de transition de l'état $c_{1}$ à l'état $c_{2}$ et $λ_{2}$ le taux de transition de l'état $c_{2}$ à l'état $c_{1}$ . Ce processus est également connu sous le nom de processus de Kac (du nom du mathématicien Mark Kac) ou processus aléatoire dichotomique^[1].

Solution

L'équation maîtresse s'écrit de manière compacte sous forme matricielle en introduisant un vecteur $𝐏 = [P (c_{1}, t | x, t_{0}), P (c_{2}, t | x, t_{0})]$ ,

\frac{d 𝐏}{d t} = W 𝐏

où

W = (\begin{matrix} - λ_{1} & λ_{2} \\ λ_{1} & - λ_{2} \end{matrix})

est la matrice de taux de transition. La solution formelle est construite à partir de la condition initiale $𝐏 (0)$ qui définit l'état $x$ à $t = t_{0}$ . Elle est :

𝐏 (t) = e^{W t} 𝐏 (0)

On peut démontrer que^[2]

e^{W t} = I + W \frac{(1 - e^{- 2 λ t})}{2 λ}

où $I$ est la matrice identité et $λ = (λ_{1} + λ_{2}) / 2$ est le taux de transition moyen. Lorsque $t \to \infty$ , la solution converge vers une distribution stationnaire $𝐏 (t \to \infty) = 𝐏_{s}$ donnée par :

𝐏_{s} = \frac{1}{2 λ} (\begin{matrix} λ_{2} \\ λ_{1} \end{matrix})

Propriétés

Tout état initial décroît exponentiellement. Par conséquent, pour un temps $t ≫ (2 λ)^{- 1}$ , le processus atteindra les valeurs stationnaires suivantes, notées par l'indice s :

Moyenne :

⟨ X ⟩_{s} = \frac{c_{1} λ_{2} + c_{2} λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}}

Variance :

var {X}_{s} = \frac{(c_{1} - c_{2})^{2} λ_{1} λ_{2}}{(λ_{1} + λ_{2})^{2}}

On peut également calculer une fonction de corrélation :

⟨ X (t), X (u) ⟩_{s} = e^{- 2 λ | t - u |} var {X}_{s}

Applications

Ce processus aléatoire trouve de nombreuses applications dans la modélisation.

En physique, les systèmes à spin et la fluorescence présentent des propriétés dichotomiques. Cependant, notamment dans les expériences sur molécule unique, on utilise des distributions de probabilité à décroissance algébrique plutôt que la distribution exponentielle sous-jacente aux formules précédentes.
En finance, pour décrire le cours des actions.
En biologie, pour décrire la fixation et la dissociation des facteurs de transcription.

Références

↑ (en) G. Margolin et E. Barkai, « Nonergodicity of a Time Series Obeying Lévy Statistics », Journal of Statistical Physics, vol. 122, n^o 1,‎ 2006, p. 137–167 (DOI 10.1007/s10955-005-8076-9, arXiv cond-mat/0504454)
↑ (en) V. Balakrishnan, Mathematical Physics: Applications and Problems, Springer International Publishing, 2020 (ISBN 978-3-030-39679-4, lire en ligne)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Telegraph process » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

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[1] (en) G. Margolin et E. Barkai, « Nonergodicity of a Time Series Obeying Lévy Statistics », Journal of Statistical Physics, vol. 122, n^o 1,‎ 2006, p. 137–167 (DOI 10.1007/s10955-005-8076-9, arXiv cond-mat/0504454)

[2] (en) V. Balakrishnan, Mathematical Physics: Applications and Problems, Springer International Publishing, 2020 (ISBN 978-3-030-39679-4, lire en ligne)

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