Produit de Kronecker

En mathématiques, le produit de Kronecker est une opération portant sur les matrices. Il s'agit d'un cas particulier du produit tensoriel (qui est noté avec le même symbole) des vecteurs vers les matrices et donne la matrice d'un produit tensoriel linéaire dans une base donnée. Le produit de Kronecker doit être distingué des autres produits matriciels, que ce soit le classique ou celui de Hadamard, qui sont totalement distincts. On appelle parfois le produit de Kronecker le produit matriciel direct. Il est ainsi dénommé en hommage au mathématicien allemand Leopold Kronecker, bien qu'il ne soit pas établi qu'il a été le premier à le définir et l'utiliser. Le produit de Kronecker est aussi parfois appelé produit de Zehfuss, du nom de Georg Zehfuss (de), qui l'a étudié en 1858, mais ce nom reste peu répandu. Ce serait Kurt Hensel qui aurait attribué la définition de l'opération à Kronecker plutôt qu'à Zehfuss.

Définition formelle

Soient A une matrice de taille m x n et B une matrice de taille p x q. Leur produit tensoriel est la matrice A ⊗ B de taille mp par nq, définie par blocs successifs de taille p x q, le bloc d'indice i,j valant a_i,j B

En d'autres termes

$A\otimes B={\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}$

Ou encore, en détaillant les coefficients,

$A\otimes B={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{pmatrix}}$

Exemple

Comme le montre l'exemple ci-dessous, le produit de Kronecker de deux matrices consiste à recopier plusieurs fois la deuxième matrice, en la multipliant par le coefficient correspondant à un terme de la première matrice.

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&3\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{pmatrix}}$

Propriétés

Bilinéarité, associativité

Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif : sous réserve de compatibilité des tailles pour A, B et C, on a les équations suivantes :

$A\otimes (B+\lambda \ \cdot C)=(A\otimes B)+\lambda (A\otimes C)$

$(A+\lambda \ \cdot B)\otimes C=(A\otimes C)+\lambda (B\otimes C)$

$A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C$

Le produit de Kronecker n'est pas commutatif ; cependant les matrices A ⊗ B et B ⊗ A sont équivalents à une permutation près; plus précisément, pour toutes A et B il existe deux matrices de permutation P et Q telles que A ⊗ B = P (B ⊗ A) Q. Si de plus A et B sont carrées et de même taille, alors A ⊗ B et B ⊗ A sont semblables par permutation sur les vecteurs de la base :

$A\otimes B=P^{-1}(B\otimes A)P={}^{t}\!P(B\otimes A)P$

où P est une matrice de permutation.

Propriétés sur les produits

Produit mixte

La propriété suivante mélange les aspects liés au produit matriciel usuel et au produit de Kronecker lorsque les tailles des matrices sont telles qu'il est possible de former les produits AC et BD:

$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)$

On peut en déduire que A ⊗ B est inversible si et seulement si A et B sont inversibles, auquel cas :

$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$

Commutateurs

Si A et C sont deux matrices carrées de même taille, et B et D sont deux matrices carrées de même taille, alors on a l'égalité sur les commutateurs

$[A\otimes B,C\otimes D]=[A,C]\otimes (BD)+(CA)\otimes [B,D]$,

ou

$[A\otimes B,C\otimes D]=[A,C]\otimes (DB)+(AC)\otimes [B,D]$.

Produit de Hadamard

Si A et C sont deux matrices carrées de même taille, et B et D sont deux matrices carrées de même taille, alors on a l'égalité

$(A\otimes B)\circ (C\otimes D)=(A\circ C)\otimes (B\circ D).$

où le signe $\circ$ désigne le produit matriciel de Hadamard.

Spectre

En utilisant la propriété précédente on déduit que si X et Y sont des vecteurs propres de A et B : $AX=\lambda \ X$ et $BY=\mu \ Y$, alors :

$(A\otimes B)(X\otimes Y)=\lambda \mu (X\otimes Y)$

Donc si $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}$ et $\mu _{1},\cdots ,\mu _{m}$ sont les valeurs propres de A et B, alors $\lbrace \lambda _{i}\cdot \mu _{j},i=1,\cdots ,n,j=1,\cdots ,m\rbrace$ sont les valeurs propres de A ⊗ B, en comptant la multiplicité.

En particulier:

$\operatorname {Tr} (A\otimes B)=\operatorname {Tr} (A)\operatorname {Tr} (B)$

$\operatorname {det} (A\otimes B)=\operatorname {det} (A)^{m}\operatorname {det} (B)^{n}$

$\operatorname {rg} (A\otimes B)=\operatorname {rg} (A)\operatorname {rg} (B)$

où Tr désigne la trace, det le déterminant et rg le rang de la matrice.

Transposition

On a la propriété suivante sur la transposée :

${}^{t}\!(A\otimes B)={}^{t}\!A\otimes {}^{t}\!B$

Notes et références

• (en) Harold V. Jemderson, Friedrich Pukelsheim et Shayle R. Searle, « On the history of the Kronecker product », Linear and Multilinear Algebra, vol. 14, n^o 2,‎ 1983, p. 113-120 (DOI 10.1080/03081088308817548)

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Kronecker Product », sur MathWorld