Produit de Wallis

formule mathématique

En mathématiques, le produit de Wallis, ou formule de Wallis, est une expression de la moitié de la constante π sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1656 par John Wallis, dans son ouvrage Arithmetica infinitorum.

Expression

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Ce produit peut s'écrire sous la forme :

soit, de façon plus condensée :

ou encore :

Une formulation équivalente est :

.

Démonstration

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On peut démontrer cette égalité à l'aide des intégrales de Wallis.

C'est aussi une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour la fonction sinus (qui est un exemple de factorisation de Weierstrass[1]) :

appliquée à x = π/2 :

[2].

Vitesse de convergence

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La vitesse de convergence, lorsque N tend vers l'infini, de la suite des produits finis

est assez lente, l'écart[3] avec π/2 étant un O(1/N). Cette suite n'est donc pas utilisée numériquement pour calculer des valeurs approchées de π. La précision peut cependant être améliorée en multipliant PN par un développement limité dont les premiers termes sont[4] :

Ainsi, pour N = 10, on obtient :

alors que

Notes et références

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  1. (en) « Weierstrass factorization theorem », sur PlanetMath.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Wallis Formula », sur MathWorld.
  3. Pour une majoration de cet écart, voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  4. (en) Cristinel Mortici, « Product Approximations via Asymptotic Integration », Amer. Math. Monthly, vol. 117, no 5,‎ , p. 434-442.