Produit infini de Cantor

En mathématiques, le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence permettant d'exprimer tout nombre réel strictement supérieur à 1. Il a été introduit par Georg Cantor en 1869 .

Énoncé du théorème de décomposition

Tout nombre réel x₀ strictement plus grand que 1 s'exprime, de manière unique, sous la forme d'un produit infini de Cantor :

$x_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)},$

où les $a_{n}$ sont des entiers naturels non nuls, vérifiant pour tout naturel n $a_{n+1}\geqslant a_{n}^{2}$, et $a_{n}\geqslant 2$ pour n assez grands.

Construction du produit

On définit les nombres suivants, où $\left\lfloor x\right\rfloor$ représente la partie entière de x :

$a_{0}=\left\lfloor {\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}\right\rfloor ,\ x_{1}={\frac {x_{0}}{1+{\frac {1}{a_{0}}}}}$.

De $a_{0}+1>{\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}$ on déduit aisément que x₁ > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :

$a_{n}=\left\lfloor {\frac {x_{n}}{x_{n}-1}}\right\rfloor ,\ x_{n+1}={\frac {x_{n}}{1+{\frac {1}{a_{n}}}}}$.

Caractérisation des nombres rationnels.

Théorème — $x_{0}$ est un nombre rationnel si et seulement si $a_{n+1}=a_{n}^{2}$ à partir d'un certain rang.

Exemples

• Pour tout entier $a\geqslant 2$, ${\frac {a}{a-1}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a^{2^{n}}}}\right)}$ ; la suite $(a_{n})=(a^{2^{n}})$ vérifie bien $a_{n+1}=a_{n}^{2}$.
• ${\sqrt {2}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\cdots$, avec $a_{0}=3$ et $a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1$ , voir la suite A001601 de l'OEIS.

D'après le théorème précédent, on voit donc que √2 est un nombre irrationnel (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer).

• Plus généralement, Pour tout entier $a\geqslant 2$, ${\sqrt {\frac {a+1}{a-1}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}$, avec $a_{0}=a$ et $a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1$ .

L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.

Notes et références

(de) Oskar Perron, Irrationalzahlen, die Cantorschen Produkte, Berlin, 1921 (lire en ligne), p. 122-127

Articles connexes

• Fraction continue
• Système de numération à bases de Cantor
• Développement en série de Engel