Produit intérieur

Cet article est une ébauche concernant la géométrie.

En géométrie différentielle, le produit intérieur est une opération élémentaire sur les formes différentielles, que l'on construit à partir d'un champ de vecteurs.

Plus précisément, si $X$ est un champ de vecteurs sur une variété différentielle $M$ et si $Ω^{p} (M)$ désigne l'ensemble des formes différentielles de degré $p$ sur $M$ alors le produit intérieur par $X$ est l'opérateur

ι_{X} : Ω^{p} (M) \to Ω^{p - 1} (M)

défini par : pour tous champs de vecteurs $Y_{1}, \dots, Y_{p - 1}$ sur $M$ ,

(ι_{X} ω) (Y_{1}, \dots, Y_{p - 1}) = ω (X, Y_{1}, \dots, Y_{p - 1})

.

C'est une antidérivation de l'algèbre extérieure, i.e., si α est une p-forme et β une forme de degré quelconque :

ι_{X} (α \land β) = ι_{X} α \land β + (- 1)^{p} α \land ι_{X} β

.

Voir aussi

Contraction tensorielle

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