Produit télescopique

En analyse, un produit télescopique est un produit fini ou infini dont les facteurs, après transformation appropriée, se simplifient successivement par réduction télescopique, ne laissant que les termes initiaux et finaux.

Le produit télescopique ressemble au déploiement d’un télescope, dans lequel les segments successifs s’emboîtent et disparaissent, ne laissant que les éléments extrêmes.

On considère le plus souvent des produits de la forme

$\prod _{k=m}^{n}{\frac {g(k+1)}{g(k)}}$,

où $g$ est une fonction définie sur un sous-ensemble des entiers relatifs et ne prenant jamais la valeur zéro.

Définition

Soit $A\subseteq \mathbb {Z}$ et soit $g:A\to \mathbb {R} \setminus \{0\}$.

On appelle produit télescopique le produit

$\prod _{k=m}^{n}f(k)$

s’il existe une fonction $g$ telle que

$f(k)={\frac {g(k+1)}{g(k)}}$

pour tout $k\in \{m,m+1,\dots ,n\}$.

On obtient alors

$\prod _{k=m}^{n}{\frac {g(k+1)}{g(k)}}={\frac {g(m+1)}{g(m)}}\cdot {\frac {g(m+2)}{g(m+1)}}\cdots {\frac {g(n+1)}{g(n)}}$

et tous les facteurs intermédiaires se simplifient.

Propriété fondamentale

Si

$f(k)={\frac {g(k+1)}{g(k)}}$

alors

$\prod _{k=m}^{n}f(k)={\frac {g(n+1)}{g(m)}}$.

Démonstration

En développant le produit :

$\prod _{k=m}^{n}f(k)=\prod _{k=m}^{n}{\frac {g(k+1)}{g(k)}}$

$={\frac {g(m+1)}{g(m)}}\cdot {\frac {g(m+2)}{g(m+1)}}\cdots {\frac {g(n+1)}{g(n)}}$

Après simplification de tous les termes intermédiaires, il reste

${\frac {g(n+1)}{g(m)}}$.

Lien avec le logarithme

Si toutes les valeurs de $g$ sont positives, alors

$\ln \!\left(\prod _{k=m}^{n}{\frac {g(k+1)}{g(k)}}\right)=\sum _{k=m}^{n}\left(\ln g(k+1)-\ln g(k)\right)$.

Le logarithme d’un produit télescopique est donc une somme télescopique.

Produits infinis télescopiques

S’il existe une limite

$\lim _{n\to \infty }g(n)=L\neq 0$,

alors

$\prod _{k=m}^{\infty }{\frac {g(k+1)}{g(k)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g(n+1)}{g(m)}}={\frac {L}{g(m)}}$.

Exemples

Exemple élémentaire

Considérons

$P=\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}$.

En développant :

$P={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdots {\frac {n+1}{n}}$.

Tous les termes intermédiaires se simplifient, donc

$\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}=n+1$.

Produit infini

Considérons

$P=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}$.

On a

${\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}={\frac {k-1}{k}}\cdot {\frac {k+1}{k}}$,

donc

$\prod _{k=2}^{n}{\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}={\frac {n+1}{2n}}$.

En passant à la limite :

$\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}={\frac {1}{2}}$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Telescoping product » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• Produit infini