Profondeur d'un module

En algèbre commutative, la profondeur d'un module sur un anneau commutatif anneau $A$ est un concept qui intervient notamment dans la définition d'un anneau de Cohen-Macaulay : ce dernier est caractérisé par le fait que pour tout idéal premier $P$ de $A$ , l'anneau local $A_{P}$ est de profondeur (en tant que $A_{P}$ -module) égale à sa dimension de Krull, au sens des définitions données ci-dessous.

Définitions

Soit $M$ un module sur un anneau commutatif $A$ . Un élément $a$ de $A$ est dit $M$ -régulier si le seul vecteur $x$ de $M$ tel que $a x = 0$ est le vecteur nul. Les éléments $A$ -réguliers sont donc exactement les éléments réguliers $A$ (éléments non diviseurs de 0).

Une suite $(a_{1}, \dots, a_{n})$ d'éléments de $A$ est une une suite $M$ -régulière si pour tout $i < n$ , l'élément $a_{i}$ est régulier pour le module $M / (a_{1} M + \dots + a_{i - 1} M)$ .

Lorsque $A$ est un anneau noethérien, $M$ est de type fini et $I$ est un idéal de $A$ tel que $I M \neq M$ , le plus grand entier $n$ tel qu'il existe une suite $M$ -régulière d'éléments appartenant à $I$ est appelé la $I$ -profondeur de $M$ . Si de plus $A$ est local d'idéal maximal $m$ , la $m$ -profondeur de $M$ est simplement appelée la profondeur de $M$ .

Un anneau noethérien $M$ est un anneau de Cohen-Macaulay si pour tout idéal premier $P$ de $A$ , l'anneau local $A_{P}$ est de profondeur (en tant que $A_{P}$ -module) égale à sa dimension de Krull.

Exemples

Tout anneau local régulier est un anneau de Cohen-Macaulay.
Soit $A$ le localisé de $ℂ [x, y] / (x y, y^{2})$ en l'idéal maximal engendré par $x, y$ . C'est un anneau de dimension 1, mais de profondeur nulle car tout élément de son idéal maximal est diviseur de 0.

Propriétés

Soient $A$ , $B$ des anneaux locaux noethériens, soit $A \to B$ un morphisme plat et $M$ un $A$ -module de type fini. Alors

{p r o f}_{B} (M \otimes_{A} B) = {p r o f}_{A} (M) + {p r o f}_{B \otimes_{A} k} (M \otimes_{A} k)

,

où $k$ est le corps résiduel de $A$ ^[1] .

Références

↑ Alexandre Grothendieck et Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Institut des hautes études scientifiques, 1960-1967, IV.6.3.1.

Bibliographie

(en) Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra, Benjamin Cummings, 1980, 2^e éd., chap. 6

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[1] Alexandre Grothendieck et Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Institut des hautes études scientifiques, 1960-1967, IV.6.3.1.

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