Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadrimoment^[1], quadri-moment^[2] (ou quadrivecteur impulsion^[2] ou quadri-impulsion^[3] ou quadrivecteur impulsion-énergie^[4] ou quadrivecteur énergie-impulsion^[5]) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte.

Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel $\vec{p} = (p_{x}, p_{y}, p_{z})$ et d'énergie $E$ :

(\begin{matrix} p^{0} \\ p^{1} \\ p^{2} \\ p^{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E / c \\ p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} γ m c \\ γ m v_{x} \\ γ m v_{y} \\ γ m v_{z} \end{matrix})

.

Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz.

Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées $(p^{0}; p^{1}; p^{2}; p^{3})$ , dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées $(p_{0}; p_{1}; p_{2}; p_{3})$ et sont telles que $p_{i} = η_{i j} . p^{j}$ .

En relativité restreinte, l'énergie et la quantité de mouvement d'une particule sont les composantes d'un unique quadrivecteur^[6]^,^[7]^,^[8]^,^[9] (4-vecteur). Il est surtout connu comme le quadrivecteur énergie-impulsion^{[N 1]} (4-vecteur énergie-impulsion). Il est noté $p$ ^{[N 2]}.

La 4-impulsion d'une particule est un 4-vecteur tangent à la ligne d'univers de la particule^[17] et orienté vers le futur^[17]^,^[18] ; il est de genre temps dans le cas d'une particule massive^[18]^,^[19]^,^[20] et de genre lumière dans celui d'une particule sans masse^[18]^,^[20] ; il est non-unitaire^[21]. La 4-impulsion totale d'un système isolé de particules est soit un 4-vecteur de genre temps orienté vers le futur, soit un 4-vecteur de genre lumière orienté vers le futur^[22] ; ce dernier cas ne se produit que pour un système isolé constitué uniquement de particules sans masse et dont les 4-impulsions sont toutes colinéaires^[22]. Les composantes de la 4-impulsion sont homogènes à une quantité de mouvement^[17].

Le carré de la pseudonorme du quadrivecteur conduit à la relation d'Einstein^[23]^,^[24]^,^[25]^,^[26] :

E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}

,

reliant l'énergie, la masse et l'impulsion^[26]. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à $E = m c^{2}$ ^[26]. Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un photon, la relation se réduit à $E = p c$ ^[27]. La relation met en évidence qu'en relativité restreinte, la masse est une grandeur invariante^[28]^,^[29]^,^[30]^,^[31] et conservée^[29]^,^[31]^,^[32] mais non additive^[29]^,^[31]^,^[32]^,^[33]^,^[34]^,^[35].

La 4-impulsion est une des notions introduites par Hermann Minkowski^[36]^,^[37]^,^[38].

Dénominations et notations

Dénominations

La dénomination « quadrivecteur énergie-quantité de mouvement » reste usitée^[39]. Mais, en raison notamment de sa longueur^[40], des auteurs lui substituent celle de « quadrivecteur énergie-impulsion »^[13]^,^[14] ou de « quadrivecteur impulsion-énergie »^[41]. Cela est discutable car « impulsion » devrait être réservé à « l'action d'une force pendant un court intervalle de temps » et ainsi à « une variation de quantité de mouvement »^[40].

Notations

La notation usuelle du quadrivecteur est la lettre p^[42]^,^[43]^,^[44]^,^[45]^,^[46] qui est la notation usuelle de la quantité de mouvement^[47].

Chaque auteur précise la convention de notation qu'il adopte pour différencier le quadrivecteur de la quantité de mouvement. Par exemple, le quadrivecteur est noté $\underline{p}$ alors que la quantité de mouvement est notée $\vec{p}$ ^[43].

Relation avec la quadrivitesse

Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante :

\vec{p} = m \vec{v}

où

m

correspond à la masse au repos.

Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos $m$ et de la quadrivitesse $u$ .

En coordonnées contravariantes, on a $u = (u^{0}, u^{1}, u^{2}, u^{3}) = (γ . c, γ v_{x}, γ v_{y}, γ v_{z})$ , où $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^{2}}}$ est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière :

p^{μ} = m u^{μ}

où

μ \in {0, 1, 2, 3}

Norme de Minkowski : p²

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule :

p \cdot p = η_{μ ν} p^{μ} p^{ν} = \frac{E^{2}}{c^{2}} - | \vec{p} |^{2} = m^{2} c^{2}

Puisque $| p |^{2}$ est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.

En utilisant la métrique de Minkowski :

η_{μ ν} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

.

Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention $η_{μ ν} = (-, +, +, +)$ au lieu de la convention $η_{μ ν} = (+, -, -, -)$ adoptée dans cet article^{[N 3]}. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.

Interprétation

À l'approximation des faibles vitesses, la composante temporelle de la 4-impulsion se réduit à^[48] :

p^{0} c = E = m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}

,

où :

$m c^{2}$ est l'énergie de masse^[49] ;
$\frac{1}{2} m v$ est l'énergie cinétique^[50].

À la même approximation, les trois composantes spatiales de la 4-impulsion se réduisent à^[51] :

\vec{p} = m \vec{v}

,

qui est l'expression classique de la quantité de mouvement^[52].

Vitesse observée

La 4-impulsion permet de définir la vitesse observée d'une particule à partir de la relation^[53] :

\frac{\vec{p}}{E} = \frac{\vec{v}}{c^{2}}

,

soit :

\vec{v} = \frac{\vec{p} c^{2}}{E}

.

Conservation du quadri-moment

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné^{[N 4]} implique deux lois de conservations pour des quantités dites classiques :

La quantité totale d'énergie $E = c . p^{0}$ est invariante.
Le moment linéaire classique tridimensionnel $\vec{p}$ reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/c² mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c². Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c².

Une application pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments p^A et p^B de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne q_μ = p^A_μ + p^B_μ, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|² = M²c². En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante A^μ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

p_{μ} A^{μ} = p_{μ} \frac{d}{d t} \frac{η^{μ ν} p_{ν}}{m} = \frac{1}{2 m} \frac{d}{d t} | p |^{2} = \frac{1}{2 m} \frac{d}{d t} (m^{2} c^{2}) = 0

.

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste : $P^{μ}$ , qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :

P^{μ} = p^{μ} + q A^{μ}

,

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique :

(\begin{matrix} A^{0} \\ A^{1} \\ A^{2} \\ A^{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ϕ / c \\ A_{x} \\ A_{y} \\ A_{z} \end{matrix})

.

Notes et références

Notes

↑ L'expression « énergie-impulsion » est usuelle^[10]^,^[11]^,^[12]^,^[13]^,^[14]. Des auteurs^[15] lui préfèrent « énergie-quantité de mouvement » car, en toute rigueur, l'impulsion diffère de la quantité de mouvement^[16].
↑ La notation $p$ est usuelle^[13]^,^[14].
↑ La convention de signe $η_{μ ν} = (+, -, -, -)$ est présente dans Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], par exemple.
↑ La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total $p^{ν}$ d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : $p^{'}^{μ} = {Λ^{μ}}_{ν} p^{ν}$ . Le nouveau quadri-moment $p^{'}^{μ}$ est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à $p^{ν}$ .

Références

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Voir aussi

Bibliographie

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[Meyer 2020] Thierry Meyer, 51 leçons de l'agrégation externe de sciences physiques corrigées et commentées, Paris, Ellipses, coll. « Références sciences », janvier 2020, 1^re éd., 656 p., 19 × 24 cm (ISBN 978-2-340-03667-3, EAN 9782340036673, OCLC 1141404288, BNF 46513072, SUDOC 24216935X, présentation en ligne, lire en ligne).
[Pérez 2016] José-Philippe Pérez (collab. Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll., mai 2016 (réimpr. octobre 2017), 3^e éd. (1^re éd. septembre 1999), XXIII-439 p., 17,7 × 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7 et 978-2-10-074717-7, EAN 9782100772957, OCLC 949876980, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne).
[Provost, Raffaelli et Vallée 2019] Jean-Pierre Provost, Bernard Raffaelli et Gérard Vallée, Mathématiques en physique : concepts et outils, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », janvier 2019, 1^re éd., XIV-366 p., 17,5 × 25 cm (ISBN 978-2-10-079023-4, EAN 9782100790234, OCLC 1083672225, BNF 45652597, SUDOC 233556478, présentation en ligne, lire en ligne).
[Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et application, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), X-309 p., 17 × 24 m (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).

Ouvrages d'introduction

[Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010 (réimpr. mars 2011), 1^re éd., XXVI-776 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, DOI 10.1051/978-2-7598-0923-3, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
[Le Bellac 2015] Michel Le Bellac (préf. Thibault Damour), Les relativités : espace, temps, gravitation, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », avril 2015, 1^re éd., XIV-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-1294-3, EAN 9782759812943, OCLC 910332402, BNF 44362603, SUDOC 185764118, présentation en ligne, lire en ligne).
[Vafa 2021] Cumrun Vafa (trad. de l'anglais par Michel Le Bellac, préf. Étienne Klein), L'Univers décrypté par les énigmes [« Puzzles to unravel the Universe »], Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », octobre 2021, 1^re éd., XVI-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2594-3, EAN 9782759825943, OCLC 1282197253, BNF 46879352, SUDOC 258258314, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

[Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609-610.

Articles connexes

Liens externes

Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :
- Britannica
- Treccani

Portail de la physique

[17] L'expression « énergie-impulsion » est usuelle^[10]^,^[11]^,^[12]^,^[13]^,^[14]. Des auteurs^[15] lui préfèrent « énergie-quantité de mouvement » car, en toute rigueur, l'impulsion diffère de la quantité de mouvement^[16].

[18] La notation $p$ est usuelle^[13]^,^[14].

[50] La convention de signe $η_{μ ν} = (+, -, -, -)$ est présente dans Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], par exemple.

[57] La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total $p^{ν}$ d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : $p^{'}^{μ} = {Λ^{μ}}_{ν} p^{ν}$ . Le nouveau quadri-moment $p^{'}^{μ}$ est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à $p^{ν}$ .

[1] Daniel Frèrejacque, « Étude de la diffusion électron-proton par observation du proton de recul », Annales de Physique, vol. 13, n^o 10,‎ 1965, p. 407–433 (ISSN 0003-4169 et 1286-4838, DOI 10.1051/anphys/196513100407, lire en ligne, consulté le 18 avril 2025)

[Elbaz-2] 1 2 Relativité générale et gravitation de Edgard Elbaz, (ellipse 1986), chapitre IV, §4

[Landau-3] Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §9

[Grossetete-4] Ch. Grossetête, Relativité restreinte et structure atomique de la matière, Paris, Ellipses, 1985, 320 p. (ISBN 2-7298-8554-4), p. 61

[Smith-5] Introduction à la relativité de James H. Smith, InterEditions (1968), (2^e édition en 1979 (ISBN 2-7296-0088-4) rééditée par Masson : Dunod - 3^e édition - 1997 (ISBN 2-225-82985-3)), chapitre 12

[LandauLifchitz197044<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9</span>-6] Landau et Lifchitz 1970, chap. II, § 9, p. 44.

[Shepherd2013323<abbr_class="abbr"_title="Sixième">VI<sup>e</sup></abbr>&nbsp;partie,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;17</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;17.3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;17.3.4</span>-7] Shepherd 2013, VI^e partie, chap. 17, sec. 17.3, § 17.3.4, p. 323.

[Schutz2022177<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;7</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7.3-8] Schutz 2022, chap. 7, sec. 7.3, p. 177.

[Vittorio202232<abbr_class="abbr"_title="première">I<sup>re</sup></abbr>&nbsp;partie,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.11-9] Vittorio 2022, I^re partie, chap. 2, sec. 2.11, p. 32.

[FilletteFrousteyRoussille2023153,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span><abbr_class="abbr"_title="première">I<sup>re</sup></abbr>&nbsp;partie,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;8.4,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;8.4.2</span>-10] Fillette, Froustey et Roussille 2023, I^re partie, chap. 8, sec. 8.4, § 8.4.2, p. 153, col. 1.

[Heyvaerts2012142<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;7</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7.6,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;7.6.2</span>-11] Heyvaerts 2012, chap. 7, sec. 7.6, § 7.6.2, p. 142.

[Rougé200263<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5.1-12] Rougé 2002, chap. 5, sec. 5.1, p. 63.

[SemaySilvestre-Brac2021172<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.3-13] 1 2 3 Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, sec. 9.3, p. 172.

[TailletVillainFebvre2018609,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_quadrivecteur_énergie-impulsion-14] 1 2 3 Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609, col. 2.

[Pérez201686<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="1"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">I</span></abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="1"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">I</span></abbr>.1</span>-15] Pérez 2016, chap. 5, sec. I, § I.1, p. 86.

[FilletteFrousteyRoussille2023154,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span><abbr_class="abbr"_title="première">I<sup>re</sup></abbr>&nbsp;partie,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;8.4,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;8.4.2</span>-16] Fillette, Froustey et Roussille 2023, I^re partie, chap. 8, sec. 8.4, § 8.4.2, p. 154, col. 1.

[Gourgoulhon2010274<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.1.1</span>-19] 1 2 3 Gourgoulhon 2010, chap. 9, sec. 9.1, § 9.1.1, p. 274.

[HughstonTod199026<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3.2-20] 1 2 3 Hughston et Tod 1990, chap. 3, sec. 3.2, p. 26.

[SemaySilvestre-Brac2021179<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.3-21] Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, sec. 9.3, p. 179.

[TailletVillainFebvre2018336,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_genre-22] 1 2 Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. genre, p. 336, col. 2.

[Schutz202248<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.7-23] Schutz 2022, chap. 2, sec. 2.7, p. 48.

[Gourgoulhon2010293<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.2.5</span>-24] 1 2 Gourgoulhon 2010, chap. 9, sec. 9.2, § 9.2.5, p. 293.

[Gourgoulhon2010277<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.1.2</span>-25] Gourgoulhon 2010, chap. 9, sec. 9.1, § 9.1.2, p. 277.

[Meyer202091leçon_7,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.2</span>-26] Meyer 2020, leçon 7, sec. 1, § 1.2, p. 91.

[SemaySilvestre-Brac2021173<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.3-27] Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, sec. 9.3, p. 173.

[Vafa202114<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;1.7-28] 1 2 3 Vafa 2021, chap. 1^er, sec. 1.7, p. 14.

[Pérez201695<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr>.2</span>-29] Pérez 2016, chap. 5, sec. IV, § IV.2, p. 95.

[Ansermet2009210<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.3.1</span>-30] Ansermet 2009, chap. 4, sec. 4.3, § 4.3.1, p. 210.

[Fayngold2008160<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5.6-31] 1 2 3 Fayngold 2008, chap. 5, sec. 5.6, p. 160.

[Okun1989631,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span><abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5-32] Okun 1989, sec. 5, p. 631, col. 1.

[Pérez201696<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr>.4</span>,_c)-33] 1 2 3 Pérez 2016, chap. 5, sec. IV, § IV.4, c), p. 96.

[Okun1989631,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span><abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5-34] 1 2 Okun 1989, sec. 5, p. 631, col. 2.

[Ansermet2009214<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.3.4</span>-35] Ansermet 2009, chap. 4, sec. 4.3, § 4.3.4, p. 214.

[Lange2001229<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr>-36] Lange 2001, sec. II, p. 229.

[McQueen20151373résumé-37] McQueen 2015, résumé, p. 1373.

[Darrigol2022219<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;7</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7.4-38] Darrigol 2022, chap. 7, sec. 7.4, p. 219.

[Gourgoulhon2010275<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.1.1</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;historique</span>-39] Gourgoulhon 2010, chap. 9, sec. 9.1, § 9.1.1, n. historique, p. 275.

[Walter2007222<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2</span>-40] Walter 2007, § 2, p. 222.

[ProvostRaffaelliVallée2019110<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.3-41] Provost, Raffaelli et Vallée 2019, chap. 4, sec. 4.3, p. 110.

[Le_Bellac201554<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;2</span>-42] 1 2 Le Bellac 2015, chap. 4, sec. 4.1, n. 2, p. 54.

[BarrauGrain201623<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.2.4</span>-43] Barrau et Grain 2016, chap. 2, sec. 2.2, § 2.2.4, p. 23.

[Pérez201685-86<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="1"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">I</span></abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="1"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">I</span></abbr>.1</span>-44] Pérez 2016, chap. 5, sec. I, § I.1, p. 85-86.

[ProvostRaffaelliVallée2019111<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.3-45] 1 2 Provost, Raffaelli et Vallée 2019, chap. 4, sec. 4.3, p. 111.

[Rougé200265<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5.1-46] Rougé 2002, chap. 5, sec. 5.1, p. 65.

[SemaySilvestre-Brac2021172-173<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.3-47] Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, sec. 9.3, p. 172-173.

[TailletVillainFebvre2018609-610''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_quadrivecteur_énergie-impulsion-48] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609-610.

[TailletVillainFebvre2018536,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_p-49] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. p, p. 536, col. 1.

[LandauLifchitz197042<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9</span>-51] Landau et Lifchitz 1970, chap. II, § 9, p. 42.

[TailletVillainFebvre2018264,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_énergie_de_masse-52] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. énergie de masse, p. 264, col. 1.

[TailletVillainFebvre2018260,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_énergie_cinétique-53] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. énergie cinétique, p. 260, col. 2.

[LandauLifchitz197041<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9</span>-54] Landau et Lifchitz 1970, chap. II, § 9, p. 41.

[TailletVillainFebvre2018611,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_quantité_de_mouvement-55] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. quantité de mouvement, p. 611, col. 1.

[LandauLifchitz197043<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9</span>-56] Landau et Lifchitz 1970, chap. II, § 9, p. 43.

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