m-tuplet diophantien

Un m-tuplet diophantien est, en théorie des nombres, un ensemble d'entiers naturels $\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots ,a_{m}\}$ tel que $a_{i}a_{j}+1$ est un carré parfait pour tout $1\leq i<j\leq m$ . Un ensemble de m nombres rationnels positifs où le produit de deux d'entre eux plus un est toujours un carré rationnel est dit m-tuplet diophantien rationnel.

Il existe des m-tuplets diophantiens pour m allant jusqu'à 4, mais il n'existe pas de quintuplets diophantiens.

m-tuplets diophantiens entiers

Le premier quadruplet diophantien a été trouvé par Fermat : $\{1,3,8,120\}$ . Il a été prouvé en 1969 par Baker et Davenport qu'un cinquième entier ne peut pas être ajouté à cet ensemble. Cependant, Euler a été en mesure d'étendre cet ensemble en ajoutant le nombre rationnel ${\frac {777480}{8288641}}$ ^[1].

La question de l'existence de quintuplets diophantiens (entiers) était l'un des plus anciens problèmes non résolus de la théorie des nombres. En 2004, Andrej Dujella a montré qu'il existe au plus un nombre fini de quintuplets diophantiens^[1]. En 2016, l'inexistence de quintuplets diophantiens est prouvée par He, Togbé et Ziegler^[2].

Le cas rationnel

Diophante a trouvé le quadruplet diophantien rationnel $\left\{{\frac {1}{16}},{\frac {33}{16}},{\frac {17}{4}},{\frac {105}{16}}\right\}$ . Plus récemment, Philip Gibbs a trouvé des ensembles de six rationnels positifs formant des sextuplets rationnels^[3]. On ne sait pas s'il existe des m-uplets diophantiens rationnels plus grands, ou s'il existe une borne supérieure, mais il est connu qu'aucun ensemble infini n'est m-tuplet diophantien^[4].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Diophantine quintuple » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} (en) Andrej Dujella, « There are only finitely many Diophantine quintuples », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 2004, n^o 566,‎ janvier 2006, p. 183–214 (DOI 10.1515/crll.2004.003, MR 2039327, S2CID 16238516).
↑ (en) Bo He, Alain Togbé et Volker Ziegler, « There is no Diophantine quintuple », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 371, n^o 9,‎ septembre 2019, p. 6665–6709 (DOI 10.1090/tran/7573, MR 3937341, arXiv 1610.04020, S2CID 54090291).
↑ (en) Philip Gibbs, « A Generalised Stern-Brocot Tree from Regular Diophantine Quadruples », 6 mars 1999.
↑ (en) Emanuel Herrmann, Attila Pethő et Horst G. Zimmer, « On Fermat's quadruple equations », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 69,‎ 1999, p. 283–291 (DOI 10.1007/bf02940880, MR 1722939).

Liens externes

(en) Andrej Dujella, « Diophantine m-tuples », Université de Zagreb, Prirodoslovno-Matematički Fakultet (PMF), Matematički odsjek.

Arithmétique et théorie des nombres

[Dujella-1] {a et b} (en) Andrej Dujella, « There are only finitely many Diophantine quintuples », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 2004, n^o 566,‎ janvier 2006, p. 183–214 (DOI 10.1515/crll.2004.003, MR 2039327, S2CID 16238516).

[HTZ-2] (en) Bo He, Alain Togbé et Volker Ziegler, « There is no Diophantine quintuple », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 371, n^o 9,‎ septembre 2019, p. 6665–6709 (DOI 10.1090/tran/7573, MR 3937341, arXiv 1610.04020, S2CID 54090291).

[Gibbs-3] (en) Philip Gibbs, « A Generalised Stern-Brocot Tree from Regular Diophantine Quadruples », 6 mars 1999.

[HPZ-4] (en) Emanuel Herrmann, Attila Pethő et Horst G. Zimmer, « On Fermat's quadruple equations », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 69,‎ 1999, p. 283–291 (DOI 10.1007/bf02940880, MR 1722939).

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