Règle de dérivation des fonctions réciproques

En analyse, la règle de dérivation des fonctions réciproques est une formule qui explicite la dérivée de la réciproque d'une fonction bijective et dérivable $f$ en fonction de la dérivée de $f$. Autrement dit, si $f^{-1}$ est la réciproque de $f$ , et que $f^{-1}\left(y\right)=x$ si et seulement si $f\left(x\right)=y$, alors dans la notation de Lagrange,

$\left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}\left(a\right)\right)}}$.

Cette formule vaut dès lors que $f$ est continue et injective sur un intervalle $I$, $f$ étant dérivable en $f^{-1}\left(a\right)$ ($\in I$) avec $f'\left(f^{-1}\left(a\right)\right)\neq 0$ .

Démonstration

Démonstration analytique

Soient $f$ et $f^{-1}$deux fonctions dérivables réciproques, avec $f^{-1}\left(x_{0}\right)=y_{0}$. Alors en appliquant la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement, on déduit :

${\begin{aligned}\left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}\\[5pt]&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}\left(x_{0}\right)}{f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)-f\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}}.\end{aligned}}$

Or, $f^{-1}$ est continue, donc $y$ tend vers $y_{0}$ lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ :

${\begin{aligned}\left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)&=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {y-y_{0}}{f\left(y\right)-f\left(y_{0}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{f'\left(y_{0}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{f'\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}}.\end{aligned}}$

Démonstration par le théorème de dérivation des fonctions composées

Soient $f$ et $f^{-1}$deux fonctions dérivables réciproques, on a alors :

$f\circ f^{-1}\left(x\right)=x\Rightarrow \left(f\circ f^{-1}\right)'(x)=1$.

Or, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées :

$\left(f\circ f^{-1}\right)'(x)=\left(f^{-1}\right)'(x)\times \left(f'\circ f^{-1}(x)\right)$.

Donc, en isolant $\left(f^{-1}\right)'\left(x\right)$, on déduit :

$\left(f^{-1}\right)'\left(x\right)={\frac {1}{f'\circ f^{-1}\left(x\right)}}$.