Pressostat (thermodynamique)

En thermodynamique, un pressostat, aussi appelé réservoir de pression, réservoir de volume ou réservoir de travail, est un système idéalisé ayant une pression constante utilisé pour réaliser des échanges de travail de forces de pression avec un autre système placé à son contact. Le système et le pressostat n'échangent ni matière ni chaleur.

Propriétés

Hypothèses du pressostat idéal

En thermodynamique, un pressostat est un système idéalisé ayant les propriétés suivantes :

• il est fermé, il n'échange pas de matière avec l'extérieur ;
• il n'échange aucune chaleur avec l'extérieur (le processus est adiabatique) ;
• il n'échange que du travail dû aux forces de pression avec l'extérieur ;
• sa pression $P^{\circ }$ est constante ;
• toute transformation du pressostat est réversible.

Entropie et réversibilité

Soit un pressostat ayant un volume $V_{\text{pr}}$, une température $T_{\text{pr}}$ et une entropie $S_{\text{pr}}$ subissant une transformation au contact d'un système extérieur.

Le premier principe de la thermodynamique énonce que l'énergie interne $U_{\text{pr}}$ du pressostat, système fermé, varie de façon élémentaire selon :

$\mathrm {d} U_{\text{pr}}=\delta W_{\text{pr}}+\delta Q_{\text{pr}}$

En l'absence d'échange de chaleur entre le système extérieur et le pressostat (processus adiabatique), on a $\delta Q_{\text{pr}}=0$. La transformation du pressostat étant réversible, on a $\delta Q_{\text{pr}}=T_{\text{pr}}\,\mathrm {d} S_{\text{pr}}$. La variation d'entropie du pressostat est donc nulle, $\mathrm {d} S_{\text{pr}}=0$, et cette entropie est par conséquent constante :

Entropie du pressostat : $S_{\text{pr}}={\text{constante}}$

La variation de l'énergie interne du pressostat est due uniquement au travail :

Énergie interne du pressostat $\mathrm {d} U_{\text{pr}}=\delta W_{\text{pr}}=-P^{\circ }\,\mathrm {d} V_{\text{pr}}$ $\Delta U_{\text{pr}}=W_{\text{pr}}=-P^{\circ }\,\Delta V_{\text{pr}}$

Compressibilité

Les coefficients calorimétriques et thermoélastiques permettent d'écrire de façon générale, en l'absence de réaction chimique :

$\mathrm {d} V_{\text{pr}}=-V_{\text{pr}}\chi _{S,{\text{pr}}}\,\mathrm {d} P^{\circ }+{T_{\text{pr}} \over \mu _{\text{pr}}}\,\mathrm {d} S_{\text{pr}}$

avec :

• $\chi _{S,{\text{pr}}}=-{1 \over V_{\text{pr}}}\left({\partial V_{\text{pr}} \over \partial P^{\circ }}\right)_{S_{\text{pr}}}$ la compressibilité isentropique du pressostat ;
• $\mu _{\text{pr}}$ un coefficient calorimétrique (sans nom, anciennement coefficient de chaleur latente de dilatation isobare) du pressostat.

Puisque l'entropie du pressostat est invariante, soit $\mathrm {d} S_{\text{pr}}=0$ :

$\mathrm {d} V_{\text{pr}}=-V_{\text{pr}}\chi _{S,{\text{pr}}}\,\mathrm {d} P^{\circ }$

Pour que $\mathrm {d} P^{\circ }=0$ quelle que soit la variation de volume $\mathrm {d} V_{\text{pr}}$, la compressibilité du pressostat doit être infinie :

Compressibilité isentropique du pressostat : $\chi _{S,{\text{pr}}}=+\infty$.

Transformation d'un système en contact avec un pressostat et un thermostat

Hypothèses du thermostat idéal

En thermodynamique, un thermostat est un système idéalisé ayant les propriétés suivantes :

• il est fermé, il n'échange pas de matière avec l'extérieur ;
• il n'échange aucun travail (en particulier aucun travail des forces de pression) avec l'extérieur ;
• sa température $T^{\circ }$ est constante ;
• toute transformation du thermostat est réversible.

Soit un thermostat ayant une pression $P_{\text{th}}$, un volume $V_{\text{th}}$ et une entropie $S_{\text{th}}$ subissant une transformation au contact d'un système extérieur.

Le premier principe de la thermodynamique implique que l'énergie interne $U_{\text{th}}$ du thermostat, système fermé, varie de façon élémentaire selon :

$\mathrm {d} U_{\text{th}}=\delta W_{\text{th}}+\delta Q_{\text{th}}$

En l'absence d'échange de travail entre l'extérieur et le thermostat, on a $\delta W_{\text{th}}=0$. En supposant que seule la pression soit impliquée dans la transformation, on a $\delta W_{\text{th}}=-P_{\text{th}}\,\mathrm {d} V_{\text{th}}$. La variation de volume du thermostat est donc nulle, soit $\mathrm {d} V_{\text{th}}=0$, et ce volume est par conséquent constant :

Volume du thermostat : $V_{\text{th}}={\text{constante}}$

La variation de l'énergie interne du thermostat est due uniquement à la chaleur, et la transformation est réversible :

Énergie interne du thermostat $\mathrm {d} U_{\text{th}}=\delta Q_{\text{th}}=T^{\circ }\,\mathrm {d} S_{\text{th}}$ $\Delta U_{\text{th}}=Q_{\text{th}}=T^{\circ }\,\Delta S_{\text{th}}$

Hypothèses de la transformation

Soit un système fermé subissant une transformation au contact d'un pressostat et d'un thermostat. Les conditions de la transformation sont donc les suivantes :

• le système, le pressostat et le thermostat forment ensemble un système isolé ;
• le système est fermé, il n'échange pas de matière avec le pressostat et le thermostat ;
• le système n'échange que de la chaleur avec le thermostat ;
• le système n'échange que du travail avec le pressostat.

On note :

• $P$ la pression du système ;
• $V$ le volume du système ;
• $T$ la température du système ;
• $S$ l'entropie du système.

Fonction caractéristique de la transformation

Le volume global $V+V_{\text{pr}}+V_{\text{th}}$ du système isolé constitué par le système, le pressostat et le thermostat est conservé au cours de la transformation :

$\Delta V+\Delta V_{\text{pr}}+\Delta V_{\text{th}}=0$

Or le volume $V_{\text{th}}$ du thermostat est invariant, soit $\Delta V_{\text{th}}=0$, d'où $\Delta V_{\text{pr}}=-\Delta V$ et :

$\Delta U_{\text{pr}}=-P^{\circ }\,\Delta V_{\text{pr}}=P^{\circ }\,\Delta V$

Le deuxième principe de la thermodynamique énonce que l'entropie globale $S+S_{\text{pr}}+S_{\text{th}}$ du système isolé ne peut que croître au cours de la transformation :

$\Delta S+\Delta S_{\text{pr}}+\Delta S_{\text{th}}\geq 0$

Or l'entropie $S_{\text{pr}}$ du pressostat est invariante, soit $\Delta S_{\text{pr}}=0$, d'où $\Delta S_{\text{th}}\geq -\Delta S$ et :

$\Delta U_{\text{th}}=T^{\circ }\,\Delta S_{\text{th}}\geq -T^{\circ }\,\Delta S$

Le premier principe de la thermodynamique implique que l'énergie interne globale $U+U_{\text{pr}}+U_{\text{th}}$ du système isolé est conservée au cours de la transformation :

$\Delta U+\Delta U_{\text{pr}}+\Delta U_{\text{th}}=0$

On pose $G^{\star }=U+P^{\circ }V-T^{\circ }S$, une forme d'exergie. On obtient finalement :

Condition d'évolution $\Delta G^{\star }=\Delta U+P^{\circ }\,\Delta V-T^{\circ }\,\Delta S\leq 0$

On a ainsi la fonction caractéristique de la transformation :

Lors d'une transformation impliquant un système fermé échangeant du travail avec un pressostat à pression $P^{\circ }$ et de la chaleur avec un thermostat à température $T^{\circ }$, la fonction exergie $G^{\star }=U+P^{\circ }V-T^{\circ }S$ ne peut que décroître. À l'équilibre, cette fonction atteint un minimum.

Condition d'équilibre du système

On a, puisque la pression $P^{\circ }$ du pressostat et la température $T^{\circ }$ du thermostat sont constantes :

$\mathrm {d} G^{\star }=\mathrm {d} U+P^{\circ }\,\mathrm {d} V-T^{\circ }\,\mathrm {d} S$

On suppose que le système subit une transformation en l'absence de réaction chimique durant laquelle son énergie interne $U$ varie selon :

$\mathrm {d} U=\delta W+\delta Q=-P\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S$

On a ainsi la condition d'évolution de la transformation :

Condition d'évolution $\mathrm {d} G^{\star }=-\left(P-P^{\circ }\right)\,\mathrm {d} V+\left(T-T^{\circ }\right)\,\mathrm {d} S\leq 0$

et celles de l'équilibre, où $\mathrm {d} G^{\star }=0$ :

$\left({\partial G^{\star } \over \partial V}\right)_{S}=-\left(P-P^{\circ }\right)=0$

$\left({\partial G^{\star } \over \partial S}\right)_{V}=T-T^{\circ }=0$

et par conséquent :

À l'équilibre : $P=P^{\circ }$, la pression du système est égale à la pression du pressostat, le système et le pressostat sont à l'équilibre mécanique ; $T=T^{\circ }$, la température du système est égale à la température du thermostat, le système et le thermostat sont à l'équilibre thermique.

Si au cours de la transformation le système est constamment en équilibre de pression avec le pressostat et de température avec le thermostat, alors la fonction caractéristique de la transformation est l'enthalpie libre $G=U+PV-TS$.

Notes et références

Bibliographie

• Nicolas Choimet, Thermodynamique PC-PSI, Éditions Bréal, 2004 (ISBN 9782749520483, lire en ligne).
• Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve/impr. aux Pays-Bas, De Boeck supérieur, 2018, 4^e éd., 976 p. (ISBN 978-2-8073-0744-5, lire en ligne).

Articles connexes

• Enthalpie libre
• Équilibre thermodynamique
• Exergie
• Pression
• Pressostat
• Thermostat (thermodynamique)
• Travail d'une force