Rêve du deuxième année
égalité surprenante entre une intégrale et la somme d'une série
En mathématiques, le rêve du deuxième année désigne les deux identités :
Elles ont été découvertes en 1697 par Johann Bernoulli.
Le nom « rêve du deuxième année », apparu en 2004[1], fait référence au « rêve du première année » qui est la fausse[a] identité (x + y)n = xn + yn. À l'inverse, les deux identités du rêve du deuxième année (en anglais sophomore's dream), qui donnent la même impression d'être « trop belles pour être vraies » — en particulier la première — sont vraies.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Sophdream.png/330px-Sophdream.png)
Historique
modifierJean Bernoulli a découvert ces égalités en s'intéressant à la différentiation du logarithme népérien.
Notes et références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sophomore's dream » (voir la liste des auteurs).
Notes
modifier- Fausse en général, mais correcte dans un anneau commutatif de caractéristique un nombre premier p, si n est une puissance de p, d'après la formule du binôme de Newton.
Références
modifierVoir aussi
modifierBibliographie
modifierFormules
modifier- Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, p. 376-381
- (en) Jonathan Borwein, David H. Bailey et Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics : Computational Paths to Discovery, , 368 p. (ISBN 978-1-56881-136-9)
- (en) William Dunham, The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton, NJ, Princeton University Press, , 46–51 p. (ISBN 978-0-691-09565-3, lire en ligne), « 3: The Bernoullis (Johann and »
- Suites
A083648 et
A073009 de l'OEIS
- (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, , 393 p. (ISBN 978-3-540-63640-3, lire en ligne), « Part I, problem 160 », p. 36
- (en) Eric W. Weisstein, « Sophomore's Dream », sur MathWorld
Fonction
modifier- (en) Literature for x^x and Sophomore's Dream, Tetration Forum, 03/02/2010
- (en) The Coupled Exponential, Jay A. Fantini et Gilbert C. Kloepfer, 1998
- (en) Sophomore's Dream Function, Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
- (en) D. H. Lehmer, « Numbers associated with Stirling numbers and xx », Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 15, , p. 461 (DOI 10.1216/RMJ-1985-15-2-461)
- (en) H. W. Gould (en), « A Set of Polynomials Associated with the Higher Derivatives of y = xx », Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 26, , p. 615 (DOI 10.1216/rmjm/1181072076)