Racine carrée de cinq

En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée √5 ou 5^1/2, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.

Graphique montrant les différentes racines carrées se trouvant dans la vesica piscis.

C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Éléments introductifs

Définition, notation et prononciation

• Le nombre 5 ayant exactement deux racines carrées réelles, √5 et –√5, √5 devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », ou « racine carrée principale de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole √, est « radical de cinq», mais elle est peu courante.
• √5 se note également 5^1/2 (notation Unicode : 5^½).
• √5 s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques, pour le terme anglais "square root".

Valeur approchée

√5 vaut approximativement

• $2,236~067~977~4$ dans le système décimal (suite A002163 de l'OEIS),
• $10,001~111~00$ dans le système binaire (suite A004555 de l'OEIS) et
• 2, 3C6 EF3 72F E94 F82 C dans le système hexadécimal.

Lien avec le nombre d'or

La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$

On trouve donc${\sqrt {5}}=2\varphi -1\quad {\rm {et}}\quad {\sqrt {5}}=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.$

Irrationalité

La racine carrée de 5, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait, est irrationnelle.

Développements en fraction continue et applications

La méthode de Bombelli utilisant pour $a>0$ la relation ${\sqrt {5}}=a+{\frac {5-a^{2}}{a+{\sqrt {5}}}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée suivant : ${\sqrt {5}}=\ a+{\frac {5-a^{2}}{2a+{\frac {5-a^{2}}{2a+{\frac {5-a^{2}}{2a+\ldots }}}}}}=a+{\frac {5-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+{\frac {5-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+\cdots$

Prenant $a=2$, on obtient :

${\sqrt {5}}=\ 2+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+\ldots }}}}}}}}=3+{\frac {1\mid }{\mid 4}}+{\frac {1\mid }{\mid 4}}+\cdots =[2\,;{\overline {4}}]$,

qui est le développement en fraction continue simple de √5 .

Ce développement est périodique (période de longueur 1) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.

Les huit premières réduites en sont : $$u_{0}={\frac {2}{1}},u_{1}={\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},u_{3}={\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}},{\frac {12238}{5473}},u_{7}={\frac {51841}{23184}},\dots$$

Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations rationnelles de √5.

Elles forment la suite $(u_{n})$, récurrente homographique, définie par : $u_{0}=2,u_{n+1}=2+{\frac {1}{4+u_{n}-2}}={\frac {2u_{n}+5}{u_{n}+2}}$.

Les deux sous-suites $(u_{2n}){\text{ et }}(u_{2n+1})$ sont adjacentes de limite ${\sqrt {5}}$ et l'on a $u_{2n}<{\sqrt {5}}<u_{2n+1}$.

Le rationnel $u_{n}$ est égal à ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ où $a_{n},b_{n}$ sont les entiers définis par $(2+{\sqrt {5}})^{n+1}=a_{n}+b_{n}{\sqrt {5}}$ ; les suites, $(a_{n}),(b_{n})$ sont définies par $a_{0}=2,b_{0}=1,{\begin{cases}a_{n+1}=2a_{n}+5b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+2b_{n}\end{cases}}$.

Les $a_{n}$ sont successivement : 2, 9, 38, 161, 682, 2889, 12238, 51841, 219602, … (suite A001077 de l'OEIS),

et les $b_{n}$ : , 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, … (suite A001076 de l'OEIS) .

On en déduit l'expression explicite :

• $u_{n}={\sqrt {5}}{\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}+(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {5}})^{n+1}-(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}}={\frac {\left\lfloor (2+{\sqrt {5}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }}$, où $\left\lfloor x\right\rceil$ est l'entier le plus proche de $x$..

Comme $a_{n}^{2}-5b_{n}^{2}=(-1)^{n+1}$, les $(a_{n},b_{n})$ fournissent alternativement des solutions aux équations de Pell-Fermat  :

$x^{2}-5y^{2}=-1\quad \mathrm {et} \quad x^{2}-5y^{2}=1$.

Approximations rationnelles

Méthodes générales

Méthode de Héron

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la partie entière de √5, x₀ = 2.

La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant √A par la formule de récurrence :

$x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {A}{x_{n}}}}{2}},$

avec ici, A = 5. Par itérations successives, on obtient :

• $x_{1}={\frac {2+{\tfrac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}=u_{1}=2,25$
• $x_{2}={\frac {{\tfrac {9}{4}}+5{\tfrac {4}{9}}}{2}}=u_{3}={\frac {161}{72}}\approx 2,236\,1$
• $x_{3}={\frac {{\tfrac {161}{72}}+5{\tfrac {72}{161}}}{2}}={\frac {51841}{23184}}=u_{7}\approx 2,236\,067\,977\,9.$

Les numérateurs forment la suite A081459 de l'OEIS, et les dénominateurs la suite A081460 de l'OEIS.

La suite $(x_{n})$ est une sous-suite de la suite des réduites $(u_{n})$ : $x_{n}=u_{(2^{n}-1)}$. Elle décroit rapidement vers √5 (convergence quadratique).

Une suite croissante associée est $(5/x_{n})$, d'où l'encadrement : $5/x_{n}<{\sqrt {5}}<x_{n}$  ; pour $n=3$, cet encadrement permet déjà d'obtenir ${\sqrt {5}}\approx 2,236\,067\,98$.

Méthode de Halley

La méthode de Halley fournit une suite qui croit encore plus rapidement vers √5 (convergence cubique), définie par : $\ y_{0}=1,\ y_{n+1}={\frac {y_{n}(y_{n}^{2}+15)}{(3y_{n}^{2}+5)}}$.

Ses premiers termes sont : $\ 1,\ {\frac {38}{17}},\ y_{2}={\frac {219602}{98209}}=u_{8}=2,2360679774\dots$ (10 décimales exactes).

La suite $(y_{n})$ est une sous-suite de la suite $(u_{n})$ des réduites de la fraction continue de √5. Plus précisément : $\ y_{n}=u_{(3^{n}-1)}$ .

Méthode spécifique

Par la suite de Fibonacci

La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, relie √5 aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}$

Cela donne la formule : ${\sqrt {5}}=7-2\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}\right)$ qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7^e donne les 13 suivantes.

Autre expression comme somme de série

En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux, on a :

${\sqrt {5}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{5^{n}}}$

Expressions par radicaux infiniment imbriqués

• $1+{\sqrt {5}}=2\varphi =2{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}$ ; voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée,
• ${\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}$ car ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}$.

Intervention en trigonométrie

Comme √2 et √3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

$\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right),$

$\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }=\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},$

$\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),$

$\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}},$

$\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}.$

Formules de Ramanujan

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :

${\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right){\rm {e}}^{2\pi /5}={\rm {e}}^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).$

${\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.$

$4\int _{0}^{\infty }{\frac {x{\rm {e}}^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,{\rm {d}}x={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+\cdots .$

Articles connexes

• Suite de Fibonacci
• Nombre de Lucas
• Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)
• Somme quadratique de Gauss
• Pavage en moulin à vent
• Anneau des entiers de Q(√5)
• Racine carrée d'un entier naturel
• Racine carrée de deux
• Racine carrée de trois
• Racine carrée de six
• Racine carrée de sept
• Racine carrée de dix

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of 5 » (voir la liste des auteurs).