Racine carrée de l'identité

Racine carrée de un

Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.

Un élément $g$ d'un groupe $G$ est une racine carrée de l'identité si son carré $g g$ (en notant la loi de composition du groupe comme une multiplication, l'identité étant alors notée $I$ ou 1) est égal à $I$ . L'identité elle-même est une telle racine carrée, mais il peut en exister d'autres.

Exemple : dans le groupe $ℚ ∖ {0}$ des nombres rationnels non nuls ou celui, $ℝ ∖ {0}$ , des nombres réels non nuls, les racines carrées de l'identité sont 1 et −1.

Groupes finis

Théorème — Si $G$ est un groupe fini d'ordre pair^[a], alors il admet au moins une autre racine carrée de l'identité que l'identité elle-même^[1].

Exemple : dans le groupe alterné $A_{4}$ (d'ordre 12), la permutation $(12) (34)$ est une racine carrée de l'identité ; $A_{3}$ (d'ordre 3), en revanche, n'a pas d'autre racine carrée de l'identité que l'identité elle-même^[1].

Notes et références

Notes

↑ Un groupe fini d'ordre pair est un groupe ayant un nombre pair d'éléments.

Références

1 2 (en) Anthony Zee, chap. I « Groups: Discrete or Continuous, Finite or Infinite », dans Group Theory in a Nutshell for Physicists, Princeton University Press, 29 mars 2016, 608 p. (ISBN 0691162697 et 978-0691162690), p. 58.

Articles connexes

Racine carrée

Portail de l’algèbre

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Un groupe fini d'ordre pair est un groupe ayant un nombre pair d'éléments.

[Zee2016-2] 1 2 (en) Anthony Zee, chap. I « Groups: Discrete or Continuous, Finite or Infinite », dans Group Theory in a Nutshell for Physicists, Princeton University Press, 29 mars 2016, 608 p. (ISBN 0691162697 et 978-0691162690), p. 58.

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