Constante délienne

La constante délienne, ou constante de Délos est une constante mathématique rencontrée dans le problème de la duplication du cube. Elle représente le rapport entre le côté d'un cube et le côté du cube ayant un volume double, et vaut racine cubique de deux, soit ${\sqrt[{3}]{2}}$, de valeur approchée $1,260$.

Historique

Cette constante est connue depuis l'Antiquité et doit son nom à la légende qui a donné lieu au problème de la duplication du cube, aussi appelé problème de Délos : les habitants de la ville de Délos ayant été frappés par une épidémie, ils ont demandé à l'oracle de Delphes comment la faire cesser, lequel a demandé la construction d'un autel de volume double de celui existant dans la ville. Le problème de la duplication du cube se réduit donc à la construction (au moyen d'une règle (non graduée) et d'un compas) du nombre racine cubique de deux.

Plusieurs mathématiciens de l'Antiquité ont trouvé des solutions pour dupliquer le cube, mais aucun avec seulement la règle et le compas, laissant le problème sans solution pendant près de deux mille ans, jusqu'à ce que l'impossibilité d'une telle construction soit prouvée par Pierre-Laurent Wantzel en 1837.

Propriétés

Le début du développement décimal de ${\sqrt[{3}]{2}}$ est $1,25992104989\cdots$, suite A002580 de l'OEIS.

Ce développement est non périodique, ${\sqrt[{3}]{2}}$ étant irrationnel, comme toute racine cubique d'un entier qui n'est pas un cube parfait.

Le début du développement en fraction continue est : $[1,3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,\cdots ]$, suite A002945 de l'OEIS.

Ce développement est également non périodique, ${\sqrt[{3}]{2}}$ n'étant pas un irrationnel quadratique.

${\sqrt[{3}]{2}}$ n'est pas constructible d'après le théorème de Wantzel.

${\sqrt[{3}]{2}}$ est égal au radical imbriqué infini ${\sqrt {2/{\sqrt {2/{\sqrt {2/\cdots }}}}}}$.

${\sqrt[{3}]{2}}$ est égal au produit infini $\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}\right)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\frac {2}{(6n+2)(6n+5))}}\right)$, qui se généralise en ${\sqrt[{k}]{2}}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\frac {(-1)^{n}}{kn+k-1}}\right)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\frac {k-1}{(2kn+k-1)(2kn+2k-1))}}\right)$.

Articles connexes

• Duplication du cube
• Construction à la règle et au compas
• Racine carrée de deux
• Racine douzième de deux

Références

• (it) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en italien intitulé « Costante deliana » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Duplication du cube », sur MathWorld