En physique , et plus particulièrement en thermodynamique , la relation de Reech lie, pour un corps quelconque, le rapport de ses capacités thermiques au rapport de ses coefficients de compressibilité . Cette relation s'écrit :
Relation de Reech :
γ
=
C
P
C
V
=
χ
T
χ
S
{\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}}
avec :
Cette relation porte le nom de Frédéric Reech , mathématicien et physicien français qui l'établit au XIX e
Par définition :
γ
=
C
P
C
V
{\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}}
C
P
=
T
(
∂
S
∂
T
)
P
{\displaystyle C_{P}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{P}}
C
V
=
T
(
∂
S
∂
T
)
V
{\displaystyle C_{V}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V}}
χ
T
=
−
1
V
(
∂
V
∂
P
)
T
{\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}}
χ
S
=
−
1
V
(
∂
V
∂
P
)
S
{\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}
avec :
On a donc :
γ
=
C
P
C
V
=
(
∂
S
∂
T
)
P
(
∂
S
∂
T
)
V
{\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\left({\partial S \over \partial T}\right)_{P} \over \left({\partial S \over \partial T}\right)_{V}}}
En considérant les relations :
(
∂
S
∂
T
)
P
(
∂
T
∂
P
)
S
(
∂
P
∂
S
)
T
=
−
1
{\displaystyle \left({\partial S \over \partial T}\right)_{P}\left({\partial T \over \partial P}\right)_{S}\left({\partial P \over \partial S}\right)_{T}=-1}
(
∂
S
∂
T
)
V
(
∂
T
∂
V
)
S
(
∂
V
∂
S
)
T
=
−
1
{\displaystyle \left({\partial S \over \partial T}\right)_{V}\left({\partial T \over \partial V}\right)_{S}\left({\partial V \over \partial S}\right)_{T}=-1}
on a :
γ
=
(
∂
T
∂
V
)
S
(
∂
V
∂
S
)
T
(
∂
T
∂
P
)
S
(
∂
P
∂
S
)
T
=
(
∂
S
∂
P
)
T
(
∂
V
∂
S
)
T
(
∂
T
∂
P
)
S
(
∂
V
∂
T
)
S
=
(
∂
V
∂
P
)
T
(
∂
V
∂
P
)
S
{\displaystyle \gamma ={\left({\partial T \over \partial V}\right)_{S}\left({\partial V \over \partial S}\right)_{T} \over \left({\partial T \over \partial P}\right)_{S}\left({\partial P \over \partial S}\right)_{T}}={\left({\partial S \over \partial P}\right)_{T}\left({\partial V \over \partial S}\right)_{T} \over \left({\partial T \over \partial P}\right)_{S}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{S}}={\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T} \over \left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}}
On obtient donc la relation de Reech :
Relation de Reech :
γ
=
C
P
C
V
=
χ
T
χ
S
{\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\chi _{T} \over \chi _{S}}}
Autre démonstration
Par définition des coefficients calorimétriques :
T
d
S
=
C
V
d
T
+
l
d
V
=
C
P
d
T
+
h
d
P
{\displaystyle T\,\mathrm {d} S=C_{V}\,\mathrm {d} T+l\,\mathrm {d} V=C_{P}\,\mathrm {d} T+h\,\mathrm {d} P}
Pour une transformation isotherme (
d
T
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} T=0}
T
d
S
=
l
d
V
=
h
d
P
{\displaystyle T\,\mathrm {d} S=l\,\mathrm {d} V=h\,\mathrm {d} P}
d'où :
d
V
=
h
l
d
P
{\displaystyle \mathrm {d} V={h \over l}\,\mathrm {d} P}
(
∂
V
∂
P
)
T
=
h
l
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}={h \over l}}
Pour une transformation isentrope (
d
S
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} S=0}
0
=
C
V
d
T
+
l
d
V
=
C
P
d
T
+
h
d
P
{\displaystyle 0=C_{V}\,\mathrm {d} T+l\,\mathrm {d} V=C_{P}\,\mathrm {d} T+h\,\mathrm {d} P}
d'où :
d
T
=
−
l
C
V
d
V
=
−
h
C
P
d
P
{\displaystyle \mathrm {d} T=-{l \over C_{V}}\,\mathrm {d} V=-{h \over C_{P}}\,\mathrm {d} P}
d
V
=
h
C
V
l
C
P
d
P
{\displaystyle \mathrm {d} V={h\,C_{V} \over l\,C_{P}}\,\mathrm {d} P}
(
∂
V
∂
P
)
S
=
h
C
V
l
C
P
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}={h\,C_{V} \over l\,C_{P}}}
Ainsi :
χ
T
χ
S
=
−
1
V
(
∂
V
∂
P
)
T
−
1
V
(
∂
V
∂
P
)
S
=
(
∂
V
∂
P
)
T
(
∂
V
∂
P
)
S
=
h
l
h
C
V
l
C
P
=
C
P
C
V
{\displaystyle {\chi _{T} \over \chi _{S}}={-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T} \over -{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}={\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T} \over \left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}={{h \over l} \over {h\,C_{V} \over l\,C_{P}}}={C_{P} \over C_{V}}}
modifier
modifier
Courbes isothermes et isentropes dans un diagramme de Clapeyron Dans un diagramme où le volume
V
{\displaystyle V}
abscisse et la pression
P
{\displaystyle P}
ordonnée (diagramme de Clapeyron ou diagramme
P
V
{\displaystyle PV}
corps quelconque deux familles de courbes de l'évolution de
P
{\displaystyle P}
fonction de
V
{\displaystyle V}
les courbes isothermes , c'est-à-dire les courbes d'évolution à température constante ;
les courbes isentropes , c'est-à-dire les courbes d'évolution à entropie du corps constante. En un point de coordonnées
(
V
,
P
)
{\displaystyle \left(V,P\right)}
la pente de l'isotherme passant par ce point :
p
T
=
(
∂
P
∂
V
)
T
{\displaystyle p_{T}=\left({\partial P \over \partial V}\right)_{T}}
la pente de l'isentrope passant par ce point :
p
S
=
(
∂
P
∂
V
)
S
{\displaystyle p_{S}=\left({\partial P \over \partial V}\right)_{S}}
Ainsi :
γ
=
C
P
C
V
=
χ
T
χ
S
=
(
∂
V
∂
P
)
T
(
∂
V
∂
P
)
S
=
1
p
T
1
p
S
=
p
S
p
T
{\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\chi _{T} \over \chi _{S}}={\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T} \over \left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}={{1 \over p_{T}} \over {1 \over p_{S}}}={p_{S} \over p_{T}}}
Graphiquement, on peut donc déterminer
γ
{\displaystyle \gamma }
(
V
,
P
)
{\displaystyle \left(V,P\right)}
[ 1]
γ
(
V
,
P
)
=
pente de l'isentrope
pente de l'isotherme
{\displaystyle \gamma \!\left(V,P\right)={{\text{pente de l'isentrope}} \over {\text{pente de l'isotherme}}}}
La pente d'une isentrope en un point donné étant supérieure à celle de l'isotherme passant par le même point
γ
>
1
{\displaystyle \gamma >1}
C
P
>
C
V
{\displaystyle C_{P}>C_{V}}
relation de Mayer .
Soit
c
{\displaystyle c}
vitesse du son dans un milieu fluide (gaz ou liquide ) homogène de masse volumique
ρ
{\displaystyle \rho }
c
=
(
∂
P
∂
ρ
)
S
{\displaystyle c={\sqrt {\left({\partial P \over \partial \rho }\right)_{S}}}}
avec
S
{\displaystyle S}
entropie . Pour une masse
m
{\displaystyle m}
volume
V
{\displaystyle V}
ρ
=
m
V
{\displaystyle \rho ={m \over V}}
(
∂
P
∂
ρ
)
S
=
1
m
(
∂
P
∂
1
V
)
S
=
1
m
(
∂
V
∂
1
V
)
S
(
∂
P
∂
V
)
S
=
−
V
2
m
(
∂
P
∂
V
)
S
=
−
V
ρ
(
∂
P
∂
V
)
S
=
1
ρ
χ
S
{\displaystyle \left({\partial P \over \partial \rho }\right)_{S}={1 \over m}\left({\partial P \over \partial {1 \over V}}\right)_{S}={1 \over m}\left({\partial V \over \partial {1 \over V}}\right)_{S}\left({\partial P \over \partial V}\right)_{S}=-{V^{2} \over m}\left({\partial P \over \partial V}\right)_{S}=-{V \over \rho }\left({\partial P \over \partial V}\right)_{S}={1 \over \rho \,\chi _{S}}}
avec, par définition :
χ
S
=
−
1
V
(
∂
V
∂
P
)
S
{\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}
On a donc, avec la relation de Reech :
c
=
1
ρ
χ
S
=
γ
ρ
χ
T
{\displaystyle c={\sqrt {1 \over \rho \,\chi _{S}}}={\sqrt {\gamma \over \rho \,\chi _{T}}}}
Si l'on connait la vitesse du son
c
{\displaystyle c}
χ
T
{\displaystyle \chi _{T}}
ρ
{\displaystyle \rho }
équation d'état ), alors on peut calculer le coefficient de Laplace
γ
{\displaystyle \gamma }
[ 2]
γ
=
c
2
ρ
χ
T
{\displaystyle \gamma =c^{2}\rho \,\chi _{T}}
Exemple Dans les conditions normales de température et de pression (CNTP), soit
T
{\displaystyle T}
0 °C et
P
{\displaystyle P}
1 atm = 101 325 Pa , on a pour l'air sec :
c
{\displaystyle c}
331 m ·s -1 [ 3]
ρ
{\displaystyle \rho }
1,292 kg ·m -3 [ 4]
χ
T
=
1
P
{\displaystyle \chi _{T}={1 \over P}}
gaz parfait .On a ainsi :
γ
=
331
2
⋅
1
,
292
101325
≈
1
,
3970
{\displaystyle \gamma ={331^{2}\cdot 1,292 \over 101325}\approx 1,3970}
On trouve
γ
=
1
,
4028
{\displaystyle \gamma =1,4028}
[ 5]
↑ Richard Mauduit, Thermodynamique en 20 fiches , Dunod, 2013 , 160 p. (ISBN 9782100590773 lire en ligne ) , p. 68-70 .↑ Corriou 1984 , p. 12.↑ La vitesse du son dans différents milieux , CyberPhon, site de phonétique acoustique de l'Université Lumière Lyon 2 : la vitesse du son dans l'air sec se calcule selon
c
=
331
+
0
,
6
t
{\displaystyle c=331+0,6\,t}
t
{\displaystyle t}
↑ Masse volumique de l'air, site de Météo-France .↑ Air sur le site d'Air liquide , aller dans Propriétés puis Phase gazeuse . Frédéric Reech, Théorie des machines motrices et des effets mécaniques de la chaleur , Eugène Lacroix, 1869 (lire en ligne ) , p. 38 Jean-Pierre Corriou, Thermodynamique chimique : Définitions et relations fondamentales , vol. J 1025, Techniques de l'ingénieur , coll. « base documentaire : Thermodynamique et cinétique chimique , pack Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique , univers Procédés chimie - bio - agro », 1984 (lire en ligne ) , p. 1-19 .Jean-Pierre Courtin, L'homme et les lois de la nature : Précis de culture générale scientifique , vol. 1, lulu.com, 2012 (ISBN 978-1-4710-3427-5 lire en ligne ) , p. 1 G 56-57 Georges Gonczi, Comprendre la thermodynamique avec des exercices résolus et commentés : Licence, CPGE , Éditions Ellipses, 2018 , 2e éd. , 288 p. (ISBN 9782340051706 lire en ligne ) , p. 103-105 G. Faverjon, Thermodynamique PCSI , Rosny-sous-Bois, Bréal, 2003 , 192 p. (ISBN 2-7495-0231-4 lire en ligne ) , p. 87 Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique : + de 6500 termes, nombreuses références historiques, des milliers de références bibliographiques , Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, 2018 , 976 p. (ISBN 978-2-8073-0744-5 lire en ligne ) , p. 631-632 
