Relation de Sylvester dans le triangle
En géométrie, la relation de Sylvester, portant le nom de James Joseph Sylvester, est une relation vectorielle entre le centre du cercle circonscrit d'un triangle et son orthocentre.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Sylvestertriangle.png/220px-Sylvestertriangle.png)
Énoncé
modifierSoit le centre du cercle circonscrit au triangle , son orthocentre. La relation de Sylvester s'écrit [1],[2] :
- .
Comme le centre de gravité du triangle vérifie , cette relation est en fait équivalente à la relation vectorielle d'Euler : .
Soit le point défini par , et le projeté de sur , qui est aussi le milieu de .
Alors ;
est donc orthogonal à , et se trouve sur la hauteur issue de A.
Par symétrie, se trouve donc sur les trois hauteurs, et n'est autre que l'orthocentre , CQFD.
Références
modifier- Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, (ISBN 978-0-486-46237-0), p. 251
- Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover, 1965, (ISBN 0486-61348-8), S. 142 (online-copy at the internet archive)
- Yvonne et rené Sortais, La géométrie du triangle, Hermann, , p. 9
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sylverster's triangle problem » (voir la liste des auteurs).
Liens externes
modifier- Weisstein, Eric W. "Sylvester's Triangle Problem" . MathWorld .
- Darij Grinberg: Solution to American Mathematical Monthly Problem 11398 par Stanley Huang