Représentation P

En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation P ou réalisation-P est la représentation dans laquelle l'opérateur d'impulsion ${\hat {\mathbf {p} }}_{x}$ appliqué au vecteur propre de cette représentation s'écrit :

${\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|p_{x}\right\rangle =p_{x}\left|p_{x}\right\rangle$

Comme l'opérateur ${\hat {\mathbf {p} }}_{x}$ est hermitien, on peut montrer pour un vecteur d'état que :

${\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|\psi \right\rangle =p_{x}\left|\psi \right\rangle$

Dans cette représentation, l'opérateur de position $\mathbf {\hat {x}}$ dans l'espace à une dimension est tel que :

$\langle p_{x}|\mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =\langle p_{x}|i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle$

Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :

$\mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle$

Il faut distinguer cette représentation de la représentation X dans laquelle l'opérateur de position s'écrit simplement $x$.

Commutateur [X,P]

Le commutateur de ${\hat {\mathbf {x} }}$ et $\mathbf {{\hat {p}}_{x}}$ est défini par :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}$

On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle ={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle$

En réalisation P, cela s'écrit :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}(p_{x}\left|\psi \right\rangle )-i\hbar p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle$

La dérivée d'un produit $uv$ étant $(uv)'=u'v+uv'$, cela donne :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (({\frac {\partial }{\partial p_{x}}}p_{x})\left|\psi \right\rangle +p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle -p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle )$

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (1)\left|\psi \right\rangle =i\hbar \left|\psi \right\rangle$

La valeur du commutateur de ${\hat {\mathbf {x} }}$ et $\mathbf {{\hat {p}}_{x}}$ est donc :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]=i\hbar$

Cette valeur, indépendante de la base, est liée au principe d'incertitude de Heisenberg.