Règle de Sarrus

En théorie des matrices, la règle de Sarrus est un moyen mnémotechnique pour calculer le déterminant d'une matrice $3\times 3$. La règle est nommée après le mathématicien français Pierre Frédéric Sarrus.

Règle de Sarrus : Le déterminant des trois colonnes de gauche est la somme des produits le long des diagonales descendantes droites moins la somme des produits le long des diagonales ascendantes droites.

Description

En prenant une matrice carrée d'ordre 3

$M={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$

le déterminant d'une telle matrice peut être calculée comme suit : réécrivez les deux premières colonnes de la matrice à droite de la troisième, ce qui donne cinq colonnes consécutives. Additionnez ensuite les produits des diagonales verticales (trait plein) et soustrayez les produits des diagonales horizontales (trait pointillé). Vous obtenez alors :

${\begin{aligned}\det(M)={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb\end{aligned}}$

Cette astuce ne marche que pour les matrices carrées d'ordre trois et n'est pas généralisable aux ordres supérieurs.

Exemples

En prenant la matrice $M={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}}$, on obtient rapidement son déterminant : $\det(M)=(2+0+0)-(0+1+0)=1$.

Liens externes

• Le règne de Sarrus sur Planetmath
• Algèbre linéaire : Règle de Sarrus des déterminants sur khanacademy.org