Séparatrice
En mathématiques, une séparatrice est la frontière séparant deux modes de comportement des solutions d'une équation différentielle[1].
Exemples
modifierPendule simple
modifierSoit l'équation différentielle décrivant le mouvement d'un pendule simple :
où désigne la longueur du pendule, l'accélération de pesanteur et l'angle entre le pendule et et la verticale. Dans ce système, la quantité H donnée par l'équation ci-dessous, appelée hamiltonien, est conservée :
Ceci posé, on peut tracer une courbe à H constant dans l'espace des phases du système. L'espace des phases est représenté par un graphique avec le long de l'axe horizontal et sur l’axe vertical (schéma à droite). Le type de courbe résultante dépend de la valeur de H .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Separatrix_for_a_Simple_Pendulum.png/220px-Separatrix_for_a_Simple_Pendulum.png)
- Si alors aucune courbe n'existe (car est alors imaginaire).
- Si alors la courbe sera une courbe simple fermée, presque circulaire pour H petit, et prend la forme d'un « œil » lorsque H s'approche de la limite supérieure. Ces courbes correspondent au balancement périodique du pendule d’un côté à l’autre.
- Si alors la courbe est ouverte, et cela correspond au pendule décrivant un cercle complet autour de son point d'attache.
Dans ce système la séparatrice est la courbe qui correspond à . Elle sépare — d'où son nom — l'espace des phases en deux zones distinctes, chacune avec un type de mouvement différent. La région à l'intérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule oscillant d'avant en arrière, tandis que la région à l'extérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule décrivant des cercles complets autour de son point d'attache.
Notes et références
modifier- Blanchard, Paul, Differential Equations, 4th ed., 2012, Brooks/Cole, Boston, MA, pg. 469.
Liens externes
modifier- Séparatrice de MathWorld.