Série d'Eisenstein
En mathématiques, les séries d'Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s'écrire explicitement.
Séries d'Eisenstein du groupe modulaire
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Eisenstein_4.jpg/220px-Eisenstein_4.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Eisenstein_6.jpg/220px-Eisenstein_6.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Eisenstein_8.jpg/220px-Eisenstein_8.jpg)
Pour tout entier k ≥ 2, la série d'Eisenstein G2k est la fonction holomorphe sur le demi-plan des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive définie par
C'est une forme modulaire de poids 2k, propriété incluant que pour tous entiers relatifs a, b, c, d tels que ad – bc = 1,
Relations de récurrence
modifierToute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en G4 et G6 grâce à la relation de récurrence suivante (qui fait intervenir des coefficients binomiaux) :
Les dk apparaissent dans le développement en série entière de la fonction de Weierstrass :
Séries de Fourier
modifierPosons . Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont : où les coefficients de Fourier c2k sont donnés par : les Bn désignant les nombres de Bernoulli, ζ la fonction zêta de Riemann et σp(n) la somme des puissances p-ièmes des diviseurs de n. En particulier, La somme sur q se resomme en une série de Lambert : pour tout nombre complexe q de module strictement inférieur à 1.
Identités de Ramanujan
modifierRamanujan a donné de nombreuses identités intéressantes entre les tout premiers termes : pour on a
Notes
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Eisenstein series » (voir la liste des auteurs).