Série d'Eisenstein

En mathématiques, les séries d'Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s'écrire explicitement. Toute forme modulaire classique associée au groupe modulaire est un polynôme en les séries d'Eisenstein de poids $4$ et $6$.

Figure représentant la partie réelle de la série d'Eisenstein de poids $6$ normalisée $120\,G_{6}(q)$, comme fonction de la variable $q$ du disque unité complexe. Les valeurs négatives sont en noir.

Séries d'Eisenstein du groupe modulaire

Définition

Pour tout entier $k\geq 2$, la série d'Eisenstein $G_{2k}$ est la fonction holomorphe sur le demi-plan des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive définie par

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.$

C'est une forme modulaire de poids 2k. En particulier, pour tous entiers relatifs a, b, c, d vérifiant ad – bc = 1,$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).$

Représentation graphique

Les fonctions du plan complexe peuvent être représentées par coloration de régions. Dans les figuressuivantes, la couleur d'un point $\tau$ du demi-plan de Poincaré représente la valeur de la série d'Eisenstein $G_{2k}(\tau )$. L'intensité lumineuse représente le module et la couleur représente l'argument. En particulier, les points noirs correspondent aux zéros.

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  Carte des couleurs utilisée dans les figures ci-après.
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  Série d'Eisenstein $G_{4}$ de poids 4.
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  Série d'Eisenstein $G_{6}$ de poids 6.
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  Série d'Eisenstein $G_{8}$ de poids 8.
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  Série d'Eisenstein $G_{10}$ de poids 10.

Propriétés

Relations de récurrence

Toute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en $G_{4}$ et $G_{6}$ grâce à la relation de récurrence suivante, qui fait intervenir des coefficients binomiaux,${\rm {soit}}\quad d_{k}=(2k+3)k!G_{2k+4},\quad {\rm {alors}}\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}.$

Les coefficients d_k apparaissent dans le développement en série entière de la fonction de Weierstrass :$\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.$

Séries de Fourier

Posons $q={\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\tau }$. Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont :$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)$où les coefficients de Fourier c_2k sont donnés par :$c_{2k}={\frac {(2\pi {\rm {i}})^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}},$les B_n désignant les nombres de Bernoulli, ζ la fonction zêta de Riemann et σ_p(n) la fonction diviseur de degré $p$ associée à $n$. En particulier, $G_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\quad {\rm {et}}\quad G_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).$ Pour tout nombre complexe $q$ de module strictement inférieur à $1$, la somme sur q se s'exprime comme une série de Lambert $\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}$.

Identités de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan a donné de nombreuses identités reliant les tout premiers termes. Ainsi, pour$L(q):=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}},\quad M(q):=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\quad {\rm {et}}\quad N(q):=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}},$on a$q{\frac {{\rm {d}}L}{{\rm {d}}q}}={\frac {L^{2}-M}{12}},\quad q{\frac {{\rm {d}}M}{{\rm {d}}q}}={\frac {LM-N}{3}}\quad {\rm {et}}\quad q{\frac {{\rm {d}}N}{{\rm {d}}q}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}.$

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Eisenstein series » (voir la liste des auteurs).