Solutions des équations de Navier-Stokes

Le problème de l'existence et de la régularité des solutions des équations de Navier-Stokes constitue l'un des problèmes du prix du millénaire de l'Institut de mathématiques Clay.

Image en fausses couleurs du champ lointain d'un jet turbulent submergé.

Les équations de Navier-Stokes décrivent la dynamique des fluides liquides ou gazeux. Leur étude n'a pas permis à ce jour de montrer l'existence de solutions régulières dans le cas général. La solution de ce problème peut constituer une étape dans la compréhension des phénomènes de turbulence.

Le problème est de prouver ou de trouver un contre-exemple à la proposition suivante qui résume l'énoncé portant sur le problème incompressible^[pas clair]:

Dans un problème temporel en dimension 3 d'espace pour lequel on spécifie une condition initiale, il existe des champs de vitesses et de pression scalaire réguliers qui sont solutions des équations de Navier-Stokes.

En septembre 2026, OpenAI annonce avoir obtenu une preuve de l'existence d'une solution tridimensionnelle des équations de Navier-Stokes qui développe une singularité en temps fini, constituant ainsi un contre-exemple à la régularité globale recherchée dans le problème du millénaire. Selon OpenAI, cette preuve a ensuite été formalisée et vérifiée à l'aide de l'assistant de preuve Lean. Le résultat n'est cependant pas, à la date de l'annonce, vérifié par des mathématiciens externes ou par l'Institut de mathématiques Clay.

La méthode utilisée par OpenAI pour produire la preuve s’appuie sur des travaux de Diego Córdoba et de Luis Martínez-Zoroa datant de 2023, visant à démontrer l'existence de phénomènes d’explosion (« blowup ») dans d'autres équations de mécanique des fluides proches. L’annonce par OpenAI s’est accompagnée d’une controverse concernant la priorité de la découverte (en) avec les mathématiciens Levent Alpöge (en) (employé par l'entreprise d’IA concurrente Anthropic) et Tristan Buckmaster (de), qui, assistés par l'intelligence artificielle, ont obtenu ensemble plusieurs résultats similaires pour les équations d’Euler.

Problème

Pour un milieu incompressible, les équations de Navier-Stokes s'écrivent pour les champs de vitesse V et de pression p :

• conservation de la masse

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0$

Cette équation implique que V est un champ solénoïdal.

• bilan de la quantité de mouvement

${\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\mathbf {V} \mathbf {V/2} \right)=-\mathbf {\nabla } p'+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g} (\mathbf {x} ,t)\;,\;\;\;p'={\frac {p}{\rho }}$

La viscosité cinématique ν est supposée constante, de même que la masse volumique ρ.

Le champ appliqué g (x,t) est régulier :

$\forall K\quad \exists C(\alpha ,K)>0\quad \vert \quad \partial ^{\alpha }\mathbf {g} (x,t)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert \mathbf {x} \vert +t)^{K}}}\;,\quad \forall (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )$

La condition initiale est supposée régulière.

$\vert \partial ^{\alpha }\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert \mathbf {x} \vert )^{K}}}\;,\qquad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$

À cause des problèmes possibles liés au comportement de la solution à l'infini le problème a été scindé en deux parties :

• si la solution est définie dans  $\mathbb {R} ^{3}$  alors on suppose que la solution est régulière à l'infini et que l'énergie totale est bornée

1.  $\mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p'(\mathbf {x} ,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))$
2.  $\exists E\in (0,\infty )\quad \vert \quad \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\vert ^{2}\,d\mathbf {x} <E\;,\;\;t\geq 0\,$

• le problème est périodique et la solution définie dans le tore  $\mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}$

Si e est le vecteur unitaire alors :

$\mathbf {V} (x_{i}+e_{i})=\mathbf {V} (x_{i})\;,\qquad p'(x_{i}+e_{i})=p'(x_{i})\;,\;\;i=1,3$

La solution doit satisfaire les mêmes relations de régularité et d'énergie totale bornée que ci-dessus.

Résultats partiels

• en 1911, Carl Wilhelm Oseen a montré l'existence de solutions en temps petit^[pas clair].
• en 1934, Jean Leray a prouvé l'existence de solutions du problème ne respectant pas nécessairement la contrainte de régularité.
• en 1959, Olga Ladyjenskaïa a résolu le problème en deux dimensions d'espace.
• en 2026, l'entreprise californienne OpenAI annonce avoir obtenu une preuve de l'existence d'une solution des équations de Navier-Stokes qui développe une singularité en un temps fini, constituant ainsi un contre-exemple à la régularité globale recherchée dans le problème du millénaire. Cependant, les mathématiciens Tristan Buckmaster (de) et Levent Alpöge (en), qui travaillaient sur la même question en utilisant l'agent IA Codex, soupçonnent que leurs travaux aient pu servir à la preuve d'OpenAI. Cela entraîne une controverse sur la priorité des résultats (en).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Navier–Stokes existence and smoothness » (voir la liste des auteurs).