Somme vide

La somme vide est le résultat d'une somme d'aucun nombre. En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, la convention établit le résultat de cette opération à 0 pour les sommes sur les nombres réels.

Définition

Soit un magma unifère noté $(E,\odot )$, un ensemble $E$ munit d'une loi de composition interne $\odot$ et possédant un élément neutre $e$. On dit que $e$ est la composition de la famille vide d'éléments de $E$. C'est-à-dire, si $(x_{i})_{i\in \emptyset }$ est la famille vide de $E$, on note

$\bigodot _{i\in \emptyset }x_{i}=e$

La composition des éléments de la famille vide de $E$ par la loi de composition interne $\odot$ est définie comme l'élément neutre associé à l'opération $\odot$. Le cas général n'est donc pas lié uniquement à la somme. En effet, si la loi de composition interne est multiplicative, il est possible de définir le produit vide.

Exemples

Nombres réels

Considérons l'exemple d'une somme $S_{1}$ de nombres réels $(x_{i})_{i\in [\![m,\,M]\!]}$ quelconques.

$S_{1}=\sum _{i=m}^{M}x_{i}={\begin{cases}x_{m}+x_{m+1}+\dots +x_{M-1}+x_{M},&{\text{si }}m\leq M,\\0,&{\text{si }}m>M.\end{cases}}$

Dans le cas où $m\leq M$, l'ensemble des indices pris en compte dans la somme est non-vide. Les éléments correspondants à ces indices sont donc pris en compte. Cependant si $m>M$, l'ensemble des indices considérés pour la somme est vide. Aucun élément n'est incorporé dans le calcul, et la convention fixe le résultat à zéro.

Vecteurs réels

Dans le cas où l'ensemble considéré est celui des vecteurs à $N$ coordonnées réelles, $E=\mathbb {R} ^{N}$ munit de la loi de composition interne addition, noté $(\mathbb {R} ^{N},+)$, le résultat est le vecteur neutre pour l'addition.

$S_{2}=\sum _{i\in \emptyset }{\textbf {x}}_{i}={\textbf {0}}_{\mathbb {R} ^{N}}$

Ici, l'élément neutre pour l'addition sur l'ensemble des vecteurs réels est ${\textbf {0}}_{\mathbb {R} ^{N}}$. C'est le vecteur dont les $N$ composantes sont nulles. On notera que ce résultat découle de la nature d'espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{N}$, basé sur $\mathbb {R}$.

Autres ensembles

Plus généralement, étant donné une opération d'addition sur une certaine collection d'objets, la somme vide est le résultat d'une addition d'aucun objet de l'ensemble. Elle est définie comme étant égale à l'élément neutre quand ce dernier existe pour l'opération donnée.

Annexes

Articles connexes

• Somme (arithmétique)
• Symbole somme
• Produit vide
• Ensemble vide
• Notation (mathématiques)